Prueba simple; Mostrar que $(4^n - 1)$ es divisible por 3 (tarea prueba guiado)

Question

• Primera parte de la tarea es sólo para mostrar que la $(4^n-1)$ realmente es divisible por 3 para n=1,2,3,4. No hay problema.

• Segundo paso: es mostrar que $(4^n -1) = (2^n-1)(2^n+1)$ No hay problema, simplemente álgebra.

• El tercer paso es explicar que $(2^n-1)$,$2^n$,$(2^n+1)$ es de tres números consecutivos. Y que solo es divisible por tres.
  $2^n$ tiene dos, como un factor y no es divisible por 3. No puede ser, incluso. Que deja a $(2^n-1)$$(2^n+1)$. El uno con 3 como un factor que parece ser aleatorio, depende de n.

• Cuarto paso, atar todo junto.
  Ahora, no estoy seguro de si estoy supone profundizar en cuál de ellos es en realidad divisible por 3. O tiene 3 como un factor. Pero, sabiendo que uno de ellos en el tiempo (depende de n) ha hecho 3 como un factor implica que, en cuanto al segundo paso, 3 es un factor de $(4^n -1)$.

Es esto todo lo que hay que hacer? Tenga en cuenta que este es un muy principiantes prueba de tarea, no muy formal. Es un poco divertido ir de nuevo a escuela secundaria de matemáticas después de tener miedo a la muerte por la lógica y la descrete de matemáticas a nivel universitario. Acabo de esperar todo, cosa que ser super complejo.

Answer 1

Una vez que han demostrado que el $4^n-1=(2^n+1)(2^n-1)$, y uno de los dos factores es divisible por tres, tienes que $3$ divide $4^n-1$.

Si $2^n-1$ es divisible por tres, escribe como $3k$ $4^n-1=3k(2^n+1)$ y por lo tanto es divisible por tres (usted debe averiguar cómo escribir el argumento en su totalidad).

El otro caso, donde $2^n+1$ es el uno divisible por tres es simétrica, pero usted debe escribir los detalles del caso, para la práctica de su escritura.

Answer 2

$(4^n-1)=(4-1)(4^{n-1}+4^{n-2}+...+4^{0})$

Answer 3

Si $n$ es un entero positivo,

usando la congruencia de la fórmula, $4\equiv 1\pmod 3\implies 4^n\equiv 1^n\pmod 3\implies 4^n-1\equiv1-1\pmod 3$

El uso alternativo de binomio de expansión, $4^n- 1=(1+3)^n-1$ $=(1+\binom n13+\binom n23^2+\cdots+\binom n{n-1}3^{n-1}+3^n)-1$ $=\sum_{1\le r\le n}3^r$ es claramente divisible por $3$

Answer 4

Uno de cada tres números consecutivos es divisible por $3$. Ahora, $2^n-1$, $2^n$, y $2^n+1$ son consecutivos, y $3$ no pueden dividirse $2^n$, por lo que debe dividir a uno de los otros y, por tanto, su producto.

Answer 5

podemos demostrar que $$3|(4^n-1),n\geq 1$$ el uso de la inducción matemática, para $n=1$ $$3|(4^1-1)$$ the statement is true. Suppose that statement is true for $n=k$ i.e $$3|(4^k-1)$$ now we prove for $n=k+1$ $$4^{k+1}-1=4^k4-1=3\times 4^k+(4^k-1)=$$ obviousley $3\veces 4^k$ can be divided by $3$ and $4^k-1$ is divisible by $3$ por supuesto.