¿Por qué es $\operatorname{Var}(X+Y) = \operatorname{Cov}(X,X) + \operatorname{Cov}(X,Y) + \operatorname{Cov}(Y,X) + \operatorname{Cov}(Y,Y)$

Question

Lo sé. $\operatorname{Cov}(X,Y) = E[(X-u_x)(Y-u_y)]$ et

$$ \operatorname{Cov}(X+Y, Z+W) = \operatorname{Cov}(X,Z) + \operatorname{Cov}(X,W) + \operatorname{Cov}(Y,Z) + \operatorname{Cov}(Y,W), $$

pero ¿cómo se consigue $$ \operatorname{Var}(X+Y) = \operatorname{Cov}(X,X) + \operatorname{Cov}(X,Y) + \operatorname{Cov}(Y,X) + \operatorname{Cov}(Y,Y)? $$

Answer 1

Una forma rápida: Obsérvese en la definición de varianza que $\text{Var}(T)=\text{Cov}(T,T)$ . Ahora en su fórmula para $\text{Cov}(X+Y, Z+W)$ , set $Z=X$ y $Y=W$ . Obtendrás exactamente la fórmula que quieres derivar.

Un camino lento: Podemos trabajar sólo con su fórmula básica de definición de la covarianza. Obsérvese que $$\text{Var}(X+Y)=E(((X+Y)-(\mu_X+\mu_Y))^2).$$ Reordenando un poco, encontramos que esto es $$E(((X-\mu_X)+(Y-\mu_Y))^2).$$ Expande el cuadrado y utiliza la linealidad de la expectativa. Obtenemos $$E((X-\mu_X)^2) +E((Y-\mu_Y)^2)+2E((X-\mu_X)(Y-\mu_Y).$$ El primer término es $\text{Var}(X)$ que es lo mismo que $\text{Cov}(X,X)$ . Se puede hacer una observación similar sobre el segundo término. Y $\text{Cov}(X,Y)=\text{Cov}(Y,X)=E((X-\mu_X)(Y-\mu_Y))$ .

Observación: Existe una variante de la fórmula para la covarianza, y la varianza, que es muy útil en los cálculos. Supongamos que queremos la covarianza de $X$ y $Y$ . Esto es $E((X-\mu_X)(Y-\mu_Y))$ . Expandir el producto, y utilizar la linealidad de la expectativa. Obtenemos $$E(XY)-E(\mu_XY)-E(\mu_Y X+E(\mu_X\mu_Y).$$ Pero $\mu_X$ y $\mu_Y$ son constantes . Así, por ejemplo $E(\mu_X Y)=\mu_XE(Y)=\mu_X\mu_Y)$ . Así que concluimos que $$\text{Cov}(X,Y)=E(XY)-\mu_X\mu_Y.$$ Un caso especial es el importante $$\text{Var}(X)=E(X^2)-\mu_X^2=E(X^2)-(E(X))^2.$$

Las fórmulas anteriores para la covarianza habrían facilitado la derivación de la fórmula de tu problema, o al menos la escritura de la respuesta. Para $$\text{Var}(X+Y)=E((X+Y)^2)-(\mu_X+\mu_Y)^2.$$ Expande cada cuadrado, utiliza la linealidad de la expectativa y reordena. Obtenemos $$(E(X^2)-\mu_X^2)+(E(Y^2)-\mu_Y^2)+2(E(XY)-\mu_X\mu_Y),$$ que es exactamente lo que queremos.