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¿Por qué es Var(X+Y)=Cov(X,X)+Cov(X,Y)+Cov(Y,X)+Cov(Y,Y)

Lo sé. Cov(X,Y)=E[(Xux)(Yuy)] et

Cov(X+Y,Z+W)=Cov(X,Z)+Cov(X,W)+Cov(Y,Z)+Cov(Y,W),

pero ¿cómo se consigue Var(X+Y)=Cov(X,X)+Cov(X,Y)+Cov(Y,X)+Cov(Y,Y)?

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Oli Puntos 89

Una forma rápida: Obsérvese en la definición de varianza que Var(T)=Cov(T,T) . Ahora en su fórmula para Cov(X+Y,Z+W) , set Z=X y Y=W . Obtendrás exactamente la fórmula que quieres derivar.

Un camino lento: Podemos trabajar sólo con su fórmula básica de definición de la covarianza. Obsérvese que Var(X+Y)=E(((X+Y)(μX+μY))2). Reordenando un poco, encontramos que esto es E(((XμX)+(YμY))2). Expande el cuadrado y utiliza la linealidad de la expectativa. Obtenemos E((XμX)2)+E((YμY)2)+2E((XμX)(YμY). El primer término es Var(X) que es lo mismo que Cov(X,X) . Se puede hacer una observación similar sobre el segundo término. Y Cov(X,Y)=Cov(Y,X)=E((XμX)(YμY)) .

Observación: Existe una variante de la fórmula para la covarianza, y la varianza, que es muy útil en los cálculos. Supongamos que queremos la covarianza de X y Y . Esto es E((XμX)(YμY)) . Expandir el producto, y utilizar la linealidad de la expectativa. Obtenemos E(XY)E(μXY)E(μYX+E(μXμY). Pero μX y μY son constantes . Así, por ejemplo E(μXY)=μXE(Y)=μXμY) . Así que concluimos que Cov(X,Y)=E(XY)μXμY. Un caso especial es el importante Var(X)=E(X2)μ2X=E(X2)(E(X))2.

Las fórmulas anteriores para la covarianza habrían facilitado la derivación de la fórmula de tu problema, o al menos la escritura de la respuesta. Para Var(X+Y)=E((X+Y)2)(μX+μY)2. Expande cada cuadrado, utiliza la linealidad de la expectativa y reordena. Obtenemos (E(X2)μ2X)+(E(Y2)μ2Y)+2(E(XY)μXμY), que es exactamente lo que queremos.

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