¿Cuántas fórmulas hay de mitad del ángulo tangente?

Question

\begin{align} \tan \frac{\alpha+\beta} 2 & = \frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\cos\alpha + \cos\beta} \tag 1 \\[10pt] \tan \left( \frac \pi 4 \pm \frac \alpha 2 \right) & = \sec\alpha \pm \tan\alpha \tag 2 \\[10pt] \frac{1 + i\tan\frac\alpha2}{1-i\tan\frac\alpha2} & = e^{i\alpha} \tag 3 \\[10pt] \tan\frac\alpha2\cdot\tan\frac\beta2 = \tan\frac\gamma2 & \text{ si y solo si } \left|\frac{\cos\alpha+\cos\beta}{1+\cos\alpha\cos\beta}\right| = \left|\cos\gamma\right| \tag 4 \end{align} Todos estos relacionan tangentes de ángulos medios a funciones trigonométricas de ángulos completos.

¿Existen otras fórmulas de tangente de ángulo medio fundamentalmente diferentes a estas? ¿Y cómo se decide si son fundamentalmente diferentes? (No estoy seguro de contar el caso de $(1)$ en el que $\alpha=0$ como fundamentalmente diferente. Se podría argumentar que $(1)$ no es fundamentalmente diferente de $(2)$. Todos estamos acostumbrados al mapeo $(x,y)\mapsto \dfrac{x+y}{1-xy}$ en relación con las tangentes, pero $(4)$ relaciona tangentes a $(x,y)\mapsto\dfrac{x+y}{1+xy}$.)

Answer 1

Para $\alpha+\beta+\gamma=\pi$, \begin{align} \tan\tfrac\alpha2\,\tan\tfrac\beta2\tan\tfrac\gamma2 &= \frac{\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma-1}{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma}. \end{align}

Editar

Algo más

\begin{align} \tan\tfrac\alpha2\,\tan\tfrac\beta2\tan\tfrac\gamma2 &= \frac{2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}{(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma)^2} \\ &= \frac{\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma}{2(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma)^2} \end{align}

\begin{align} \cot\tfrac\alpha2+\cot\tfrac\beta2+\cot\tfrac\gamma2-(\tan\tfrac\alpha2+\tan\tfrac\beta2+\tan\tfrac\gamma2) &= 2(\cot\alpha+\cot\beta+\cot\gamma) \end{align}

Answer 2

No sé si lo siguiente es esencialmente diferente, pero

$$\cot(x/2)=\cot(x)+\csc(x)$$

y por lo tanto

$$\begin{align} \tan(x/2)&=\frac{1}{\cot(x)+\csc(x)}\\\\ &=\frac{\sin(x)}{\cos(x)+1}\\\\ &=\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}\\\\ &=\csc(x)-\cot(x) \end{align}$$

Answer 3

Aquí hay un fragmento de una respuesta. Encontré esta derivación en la serie divergente de G. H. Hardy. $$ 1 + e^{i\theta} + e^{2i\theta} + e^{3i\theta} + \cdots = \frac 1 {1 - e^{i\theta}}, $$ La identidad anterior se mantiene si $|e^{i\theta}|<1$, pero la serie diverge si $\theta$ es real.

Por lo tanto \begin{align*} & \sin\theta + \sin2\theta+ \sin3\theta + \cdots = \operatorname{Im}\frac 1 {1 - e^{i\theta}} = \operatorname{Im} \frac{1 - e^{-i\theta}}{2 - 2\cos\theta} \\[10pt] = {} & \frac{ \sin\theta }{2-2\cos\theta} = \frac 1 2 \cot\frac\theta2. \end{align*} $$ \text{Si } \operatorname{Re}\theta > 0 \text{ entonces } \sin\theta + \sin2\theta+ \sin3\theta + \cdots = \frac 1 2 \cot\frac\theta2. $$ $$ \text{o si prefieres } \frac 1 {2(\sin\theta + \sin2\theta + \sin3\theta + \cdots)} = \tan\frac\theta2. $$ Si $\theta$ es real, esto no converge en el sentido habitual, pero tal vez converge en el sentido de algún "método de sumación".