¿Por qué el algoritmo predictor-corrector de Gear para la integración de las ecuaciones de movimiento no es simpléctico?

Question

Okumura y otros, J. Chem. Phys. 2007 afirma que el Predictor-corrector de marcha El esquema de integración, utilizado en particular en algunos paquetes de dinámica molecular para la dinámica de cuerpos rígidos que utilizan cuaterniones para representar las orientaciones moleculares, no es un esquema simpléctico. Mi pregunta es: ¿cómo se puede demostrar esto? ¿Se deduce del hecho de que el integrador de Gear no es reversible en el tiempo (y si es así, cómo se puede demostrar)? Si no es así, ¿cómo se demuestra que un esquema de integración no es simpléctico?

Answer 1

Echa un vistazo a los apuntes de las clases 1 y 2 de Integración Numérica Geométrica que se encuentran aquí . Cita de la conferencia 2

Un método numérico de un solo paso $y_{n+1} = \Phi_h(y_n)$ se llama simpléctica si, cuando se aplica a un sistema hamiltoniano, el flujo discreto $y \mapsto \Phi_h(y)$ es una transformación simpléctica para todos los tamaños de paso suficientemente pequeños.

De su enlace tiene $$x(t+h) = x(t) + h \dot{x}(t) + h^2 \left\{\frac{3}{24}f(t+h) +\frac{10}{24}f(t) -\frac{1}{24}f(t-h) \right\}$$ y $$\dot{x}(t+h) = \frac{x(t+h) - x(t)}{h} + h \dot{x}(t) + h \left\{\frac{7}{24}f(t+h) +\frac{6}{24}f(t) -\frac{1}{24}f(t-h) \right\}$$

Ahora toma $\omega(\xi,\eta) = \xi^T J \eta$ donde $J = \left(\begin{array}{cc} 0 & \mathbb{I} \\ \mathbb{-I} & 0 \end{array}\right)$ . Entonces el integrador es simpléctico si y sólo si $\omega(x(t),\dot{x}(t))=\omega(x(t+h),\dot{x}(t+h))$ para un tamaño suficientemente pequeño $h$ .

Lo único que hay que hacer es rellenar los valores de $x(t+h)$ y $\dot{x}(t+h)$ del integrador, y demostrar que esta condición no se cumple.