¿Cuándo la igualdad presionado para $|x+y| \leq |x|+|y| ?$

Question

Este es el problema el 1-2 en el Cálculo de los Colectores. Spivak. Él da dos consejos.

1. Examinar la prueba y

2. La respuesta es no "cuando y e y son linealmente dependientes."

Esta es la prueba que se nos dice a examinar:

$|x+y|^2 = \sum^n_{i=1}(x^i+y^i)^2=\sum^n_{i=1}{x^i}^2+\sum^n_{i=1}{y^i}^2+2\sum^n_{i=1}{x^i}{y^i} \leq |x|^2+|y|^2+2|x||y|=(|x|+|y|)^2$

Luego tomar la raíz cuadrada de ambos lados.

Basado en esta prueba, creo que la respuesta es

$|x+y| = |x|+|y|\;\longleftrightarrow\;\sum^n_{i=1}{x^i}{y^i}=<x,y>=|x||y|.$

La respuesta parece obvia, pero no estoy seguro porque me llegó a través de este conjunto de soluciones (http://jianfeishen.weebly.com/uploads/4/7/2/6/4726705/calculus_on_manifolds.pdf) que tiene una tarea mucho más complicada de responder. Mi prueba parece un poco demasiado fácil. Yo podría estar pasando por alto algo.

Answer 1

Su argumento es bueno, pero se puede ir más allá.

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Supongamos $\|x+y\|=\|x\|+\|y\|$ (lo siento, pero no puedo utilizar la notación con barras único y superior índices) con $x\ne0$; esto es equivalente a $$ \langle x+y,x+y\rangle=\langle x,x\rangle+2\|x\|\,\|s\|+\langle y,y\rangle $$ es decir, la expansión de la mano izquierda y la simplificación, $$ \langle x,y\rangle=\|x\|\,\|s\|\etiqueta{*} $$ Esto está claramente conectada con la de Cauchy-Schwarz desigualdad, así que vamos a examinar su prueba.

Considere la posibilidad de $\langle tx+y,tx+y\rangle\ge0$, para todos los escalares $t$. Entonces $$ t^2\langle x,x\rangle+2t\langle x,y\rangle+\langle y,y\rangle\ge0 $$ para todos los $t$; por lo tanto, la (reducida) discriminante $$ \langle x,y\rangle^2-\langle x,x\rangle\langle y,y\rangle\le0 $$ En el caso de la igualdad (*) se mantiene, el discriminante es cero, de modo que, para $t=-\frac{\langle x,y\rangle}{\langle x,x\rangle}$, tenemos que $$ \langle tx+y,tx+y\rangle=0 $$ es decir, $tx+y=0$, lo $y\in\operatorname{Span}\{x\}$.

Ahora, si $y=rx$, para algunos escalares $r$, $$ \|x+y\|=\|(1+r)x\|=|1+r|\,\|x\| $$ mientras que $\|x\|+\|rx\|=(1+|r|)\|x\|$. Así que necesitamos $$ |1+i|=1+|r| $$ El cuadrado obtenemos $1+2r+r^2=1+2|r|+r^2$, por lo que la condición es $r\ge0$.

Por lo tanto la solución es

cualquiera de las $y=rx$, para algunas de las $r\ge0$ o $x=ry$, para algunas de las $r\ge0$.