Encontrar la función continua $x$ con $x(0)=0$ tal que $\|x-y\| \geq 1$ donde $y(0)=0$ y $\int_0^1 y(t) dt = 0$

Question

Considere $C[0,1]$ espacio de funciones continuas con la norma uniforme. Sea $X = \{ x \in C[0,1]: x(0)=0\}$ y $Y = \{ y \in X: \int_0^1 y(t) dt = 0 \}$ subespacios de $C[0,1]$ . ¿Cómo puedo demostrar que $\exists x \in X$ , $\|x\|=1$ , de tal manera que $$\|x-y\| \geq 1 ~~\forall y \in Y?$$

Edición: Lo siento chicos, la pregunta es: ¿Cómo puedo probar que no lo hace existe $x \in X$ , de tal manera que $||x||=1$ y $||x-y|| \geq 1 ~~\forall y \in Y$

Answer 1

Supongamos que existe una función de este tipo $x$ . Definimos $m$ por: $$m=\int_0^1 x(t) dt$$ la idea es demostrar que $|m|\geq1$ que está en contradicción con $x$ continua, $x(0)=0$ y $\|x\|_\infty=1$ .

Dejemos que $\epsilon >0$ . Existen $g_\epsilon \in X$ tal que: $$\int_0^1 g_\epsilon(t) dt=1-\epsilon, \, \|g_\epsilon\|=1$$ (por ejemplo $g_\epsilon(t)=1$ para $t>2 \epsilon$ y $g_\epsilon(t)=\frac{t}{2\epsilon}$ para $t \leq 2 \epsilon$ ).

Entonces: $$\tilde{x}_\epsilon(t)=x(t)-\frac{m}{1-\epsilon} g_\epsilon(t)$$ está en $Y$ como lo es en $X$ (como combinación lineal de la función en $X$ ) y : $$\int_0^1\tilde{x}_\epsilon(t)dt=\int_0^1x(t)dt-\frac{m}{1-\epsilon} \int_0^1 g_\epsilon(t) dt=m-\frac{1-\epsilon}{1-\epsilon} m=0$$ .

Así que: $$\|x-\tilde{x}_\epsilon\|=\left\|\frac{m}{1-\epsilon} g_\epsilon \right\| \geq 1$$ es decir $$\frac{|m|}{1-\epsilon} \geq 1$$ .

Así que para cualquier $\epsilon >0$ : $$|m| \geq 1-\epsilon$$ y así: $$|m| \geq 1$$ .

Answer 2

Estoy estudiando Análisis Funcional, por lo que deseo que se compruebe mi solución.

Desde $X$ , $Y$ son subespacios de $[0,1]$ así es $X \cap Y$ . Ahora $X \cap Y \subseteq X$ es un subespacio cerrado en $X$ . Ya que si elegimos una Secuencia de Cauchy $\{p_n\}$ en $X \cap Y$ , $\{p_n(t)\}$ está acotado para cada $t \in [0,1]$ y como $\{p_n\}$ es Cauchy, $\{p_n(t)\}$ converge para cada $t\in [0,1]$ .

$$p(t)=\lim\limits_{n \to \infty}p_n(t)$$ Desde $p_n(0)=0$ por cada $n$ tenemos $p(0)=0$ y como $p_n \in X \cap Y \subseteq C[0,1]$ , $p_n$ está acotado y tenemos $\lim \limits_{n \to \infty} \int _0^1 p_n(t)dt=\int_0^1\lim p_n(t)dt=0$ y por lo tanto $X \cap Y$ está cerrado.

Entonces, por el lema de Riesz, para $0 < \epsilon < 1$ nos garantizan un $x \in X$ tal que

$$||x-y||\ge 1-\epsilon$$ tal que para cualquier $y$ Satisfaciendo a $y(0)=0, \int_0^1y(t)dt=0$ .

Se editó la respuesta antes de que la pregunta fuera alterada para mostrar una existencia más débil de la función que satisface las condiciones. Para una condición más fuerte, las discusiones en los comentarios muestran que el espacio subyacente debe ser reflexivo para que se cumpla una forma más fuerte del Lemma de Riesz.