probar este bonito desigualdad $\left|\prod_{i=1}^{n}(a_{i}-a_{i+1})\right|\le \frac{3\sqrt{3}}{16}$

Question

Deje $n$ ser número impar, y $a_{i}\ge 0$, de tal manera que $$2(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n})=n$$ Mostrar que $$\left|\prod_{i=1}^{n}(a_{i}-a_{i+1})\right|\le \frac{3\sqrt{3}}{16}$$

donde $a_{n+1}=a_{1}$

Viendo esta situación me recuerda a utilizar esta conclusión, a tratar con él. $$S_{AOB}=\frac{1}{2}|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|$$ donde $A(a_{1},b_{1}),B(a_{2},b_{2}),O(0,0)$

Parece que este problema va a implicar un problema de máxima geométrica de la zona, tal vez puede ser manejado de esta manera

Answer 1

Aquí es una prueba para $n=3$, tal vez eso ayude a alguien a resolver el problema general.

Deje $a, b, c$ ser no negativo números reales con a $a+b+c = \frac 32$. Entonces $$ f(a, b, c) = \vert (a-b)(b-c)(c-a) \vert \le \frac{3 \sqrt 3}{16} \, . $$ La igualdad ocurre si, y sólo si $(a, b, c)$ es una permutación de $$ (0, \frac{3-\sqrt 3}{4}, \frac{3+\sqrt 3}{4} ) \, . $$

Prueba: Sin pérdida de generalidad podemos suponer que $a \le b \le c$. Si $a > 0$, entonces podemos reemplazar $(a, b, c)$ con $$ (a', b', c') = (0, b + \frac\delta 2, c + \frac\delta 2) $$ donde $\delta = \frac 32 - b - c$. A continuación, $a'+b'+c' = \frac 32$ y $$ f(a, b, c) = (b-a)(c-b)(c-a) < b'(c'-b')c' = f(a', b', c') \, . $$

Por lo tanto, podemos asumir que $a=0$ y se queda a maximizar $f(0, b, c)$ para $0 \le b \le c, b+c = \frac 32$. Es conveniente establecer $$ b = \frac 34 - x \, , \quad c = \frac 34 + x \, , \quad 0 \le x \le \frac 34 \, . $$ Entonces $$ f(0, b, c) = b (c-b) c = 2 x \left( \frac {9}{16} - x^2 \right) =: \phi(x) \, . $$ Un análisis elemental muestra que $\phi$ tiene un único máximo en $[0, \frac 34]$, se logra en $x_0 = \frac{\sqrt 3}{4}$, y $\phi(x_0) = \frac{3 \sqrt 3}{16}$. Esto concluye la prueba.

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Nota: Para arbitrario extraño $n \ge 3$ el límite superior $\frac{3 \sqrt 3}{16}$ es el mejor posible. Para $n=3$ que ha sido se demostró anteriormente. Por extraño $n \ge 5$ igualdad tiene para $$ (a_1, \ldots, a_n) = (0, \frac{3-\sqrt 3}{4}, \frac{3+\sqrt 3}{4}, 0, 1, \ldots, 0, 1) \, . $$