Abelianity y cocientes

Question

Hola a todos tengo una pregunta sobre la teoría de grupos.

Deje $G$ ser cualquier grupo y $H$ finita normal subgrupo de $G$. Supongamos que el cociente $G/H$ es abelian. Es cierto entonces que $G$ es abelian? Si no, ¿tiene usted un contraejemplo?

Mi intento: creo que la respuesta es positiva, como tomar sólo un número finito de la pieza de $G$ no afecta mucho en su comportamiento.

Gracias de antemano!

*Editar: editar mi pregunta como he recibido contraejemplos con grupos finitos (que realmente aprecio). Lo que si añadimos el supuesto de que $G$ es infinito?

Answer 1

Contra ejemplo: $S_n$ ser las permutaciones de elementos de $n$ y $A_n$ las permutaciones incluso. $A_n$ es un subgrupo normal de $S_n$ y su cociente es de orden 2, por lo que Abelien y $S_n$ es como un Abelian como se pone.

Answer 2

Como contraejemplo, vamos a $G$ ser el más pequeño nonabelian grupo, el grupo simétrico de a $3$ elementos, $S_3$. Deje $H = A_3$, la alternancia de los subgrupos de $S_3$. Aviso de $|H| = 3$, e $|G:H| =2$, lo $H$ es un subgrupo normal de $G$. El cociente es isomorfo a $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, por lo que es abelian.

Answer 3

No. Siempre se puede encontrar un subgrupo de $H$ (suponiendo que se refieren a grupos finitos al menos). Así que si eso fuera cierto, sería lógico que cada grupo abelian. El $H$ que tengo en mente es $H = G'$.

Answer 4

Permítanme ampliar rápidamente en Erik Holts comentario, que hay ejemplos en los que tanto $H$ $G/H$ son Abelian sino $G$ es que no: son el diedro grupos $D_n$. Geométricamente son la simetría de los grupos ($n$ rotaciones y $n$ reflexiones) de la regular $n$-gon. Algebraicamente son generados por los elementos de a $\rho$ $\sigma$ donde $\rho^n = 1, \sigma^2 = 1$ $\rho^k \sigma = \sigma \rho^{n-k}$ por cada $k$. El subgrupo normal $H$ se compone de los poderes de la $\rho$, geométricamente este es el subgrupo de sólo rotaciones, es un grupo cíclico y, por tanto, abelian. El cociente tiene sólo dos elementos y, por tanto, es abelian así.

La descripción algebraica deja en claro cómo hacer una infinita ejemplo: por cada $k \in \mathbb{Z}$ tenemos un elemento $\rho^k$ y un elemento $\sigma \rho^k$ y la multiplicación está cubierto por $\rho^k \sigma = \sigma \rho^{-k}$ y, por supuesto,$\sigma^2 = 1$.