el límite superior de los supremos de la secuencia

Question

Dejemos que $f_{n}:S\to R$ sea la secuencia de funciones uniformemente continuas no negativas, $S$ es algún espacio normado, tal que para cada $n$ $$ \underset{s\in C}{\sup} f_{n}(s) < \infty. $$

A continuación, supongamos que para cada $s$ en algún subconjunto $C \subset S$ con $S$ compacto o sólo acotado) $$ \underset{n\to\infty}{\limsup}f_{n} (s) \leq g(s), $$ donde $g(s)$ es continua y se supone que $\underset{s\in C}{\sup} g(s) < \infty$ , si $S$ no es compacto.

¿Es cierto lo siguiente? $$ \underset{n\to\infty}{\limsup} \underset{s\in C}{\sup} f_{n} (s) < \infty $$ ?

Answer 1

Esto no es cierto. Tome $S = C = [0, 1] \subset \mathbb{R}$ . Sea $f_n$ sea la función que es constante cero, salvo un pico lineal de altura $n$ entre $1/(n + 1)$ y $1/n$ . A continuación, observe que $\limsup_n f_n(s) = 0$ para todos $s \in [0, 1]$ por lo que podemos establecer $g(s) = 0$ . Además, como cada $f_n$ es continua en un dominio compacto, cada $f_n$ es uniformemente continua, y también $\sup_{s \in [0, 1]} f_n(s) = n < \infty$ .

Sin embargo, $\limsup_n \sup_{s \in [0, 1]}f_n(s) = \limsup_n n = \infty$ .