Deje $n$ ser un número natural. $\Omega = \{ d : d | n \}$ $A\subset \Omega$ Definir la probabilidad de $A$ como : $$P(A) = \frac{1}{\sigma(n)}\sum_{d\in A}{d}$$ Consideremos el conjunto a $B = \{d \in \Omega |d \equiv 0 (2) \}$. Deje $a = v_2(n)$. Entonces (primera conjetura) $$P(B) = \frac{2^{a+1}-2}{2^{a+1}-1}$$ Tenemos $E(d) = \sum_{d|n} {d \cdot P(d)} = \sum_{d|n} { d \cdot \frac{d}{\sigma(n)}} = \frac{\sigma_2(n)}{\sigma(n)}$ La segunda conjetura: $|B| = a \cdot b$ donde $n = 2^a \cdot p_1^{a_1}\cdots p_r^{a_r}$ es la factorización de $n$, $a$ posiblemente $=0$$b = (a_1+1)\dots(a_r+1)$. Considere la posibilidad de $Z = \sum_{d \in B} {d}$ y considerar la variable aleatoria: $Y_d = 1$ si $d \equiv 0 ( 2) $, de lo contrario $= 0$. A continuación, $Z = \sum_{d|n} Y_d d$ es una variable aleatoria. Entonces por un lado tenemos: $E(Z) = \sum_{d \in B}{E(d)} = \sum_{d \in B}{\frac{\sigma_2(n)}{\sigma(n)}} = a b \frac{\sigma_2(n)}{\sigma(n)}$ Por otro lado tenemos $P(B) = \frac{Z}{\sigma(n)}$ por lo tanto la solución para $Z$ obtenemos: $$Z = \sum_{d|n}{d} \cdot \frac{2^{a+1}-2}{2^{a+1}-1}$$ De esto se sigue que: $$E(Z) = \frac{2^{a+1}-2}{2^{a+1}-1} \sum_{d|n}{E(d)} = \frac{2^{a+1}-2}{2^{a+1}-1} \sum_{d|n}{\frac{\sigma_2(n)}{\sigma(n)}} = \frac{2^{a+1}-2}{2^{a+1}-1} \tau(n) \cdot \frac{\sigma_2(n)}{\sigma(n)}$$ Por lo tanto tenemos: $$a b \frac{\sigma_2(n)}{\sigma(n)} = \frac{2^{a+1}-2}{2^{a+1}-1} \tau(n) \cdot \frac{\sigma_2(n)}{\sigma(n)}$$ a partir de la cual es de la siguiente manera: $$ab = \tau(n) \cdot \frac{2^{a+1}-2}{2^{a+1}-1}$$ Pero por ejemplo para $n=6$ esto está mal, entonces, ¿dónde está el error en el argumento?
Si le sucede que tiene una prueba para una de las conjeturas, que también estaría bien.
