Acerca de la secuencia de $a_n=\{\pi^n\}$

Question

Es la secuencia de las $\{\pi^n\}=\pi^n-\lfloor\pi^n\rfloor$ densa? En otras palabras, para cualquier $\varepsilon>0$ $t\in[0,1]$ ¿existe un adecuado $n\in\mathbb{N}$ satisfacción $|\{\pi^n\}-t|<\varepsilon$ ?

( * ) ¿Cuál es la condición en $q$ al hacer la secuencia $\{q^n\}$ densa?

Sé que la condición necesaria y suficiente para$\{nq\}$$q\not\in\mathbb{Q}$.

También, para hacer la pregunta * más agradable, a extender por todos (positivo y negativo) enteros.

Answer 1

Para $(\ast)$ ver el Poder de fracciones de las Piezas y las referencias allí. Hardy y Littlewood (1914) demostró que la secuencia de partes fraccionarias $q^n-\lfloor q^n\rfloor$ es equidistributed para casi todos los números reales $q>1$. Un número excepcional es la proporción áurea. No sé si $\pi$ es otra excepción, probablemente no. No he encontrado un resultado específico acerca de $\pi$. Creo que es un problema abierto.