La acción de un grado $m$ mapa en $\pi_{n+1}S^n$

Question

Deje $\delta_m \colon S^n \to S^n$ ser un mapa de grado $m$. A continuación, $\delta_m$ induce un mapa de $\pi_{n+1}S^n \to \pi_{n+1}S^n$$\delta_m[f]:=[\delta_m\circ f]$. Sabemos que para $n>2$ el grupo $\pi_{n+1}S^n$ es isomorfo a $\mathbb Z_2$.

La pregunta es, ¿qué tipo de mapa $\delta_m \colon \pi_{n+1}S^n \to \pi_{n+1}S^n$ vamos a llegar?

Answer 1

Esto es para corregir un error en Eric Wolfsey del post.

En realidad, $\pi_3S^2\cong\mathbb{Z}$ es generado por el mapa de Hopf $\eta=\eta_2$, e $[\iota_2,\iota_2]=2\cdot\eta$. Usted puede ver esto desde la Whitehead producto $[\iota_2,\iota_2]$ genera el núcleo de la suspensión de la $\Sigma:\pi_3S^2\rightarrow\pi_4S^3\cong\mathbb{Z}_2\{\eta_3\}$, que es en.

Sin embargo, la naturaleza cuadrática de la Hopf mapa está bien saber, y de hecho lo hace obedecer

$$\delta^{(2)}_m\circ \eta\simeq m^2\cdot \eta_2.$$

Que esto es cierto en realidad es un poco más profunda, debido al hecho de que $\eta$ ha invariante de Hopf.

Ahora escribo $\delta^{(n)}_m:S^n\rightarrow S^n$ para el grado $m$ mapa en $S^n$. Para $n\geq 2$, este mapa es el $(n-1)$veces la suspensión de la licenciatura $m$ mapa en $S^{1}$$\delta^{(n)}_m\simeq \Sigma^{n-1}\delta^{(1)}_m$, y para $n\geq 3$, el homotopy grupo $\pi_{n+1}S^n$ es generado por la suspensión de $\eta_n=\Sigma^{n-2}\eta$.

Recordemos que el (la reducción de la suspensión), es el mismo rompiendo con $S^1$$\Sigma X\simeq S^1\wedge X$, para cualquier base de CW espacio de $X$. Por otra parte, hay homeomorphisms $S^{n+m}\cong S^n\wedge S^m\cong S^m\wedge S^n$, y, en particular,$S^{n+1}\cong S^1\wedge S^n$. Una cosa a tener en cuenta, sin embargo, es el Milnor firmar la convención, que establece que el homeomorphism $S^n\wedge S^m\cong S^m\wedge S^n$ tiene el grado $(-1)^{nm}$.

Escribimos $\iota_n=id_{S^n}:S^n\rightarrow S^n$ para el mapa de identidad. A continuación, utilizando los hechos anteriores obtenemos una homotopy

$$\delta_m^{(n)}\circ\eta_n\simeq (\delta^{(1)}_m\wedge\iota_{n-1} )\circ(\iota_1\wedge \eta_{n-1})=(\iota_1\wedge \eta_{n-1})\circ(\delta^{(1)}_m\wedge\iota_{n})\simeq (-1)^{n}\cdot \eta_n\circ\delta^{(n)}_m.$$

Sin embargo, el lado derecho de este sólo es $=(-1)^nm\cdot \eta_n$. Desde $\pi_{n+1}S^n\cong\mathbb{Z}_2$, $(-1)^n$ factor es intrascendente, y hemos

$$\delta_m^{(n)}\circ \eta_n=m\cdot \eta_n=\begin{cases}\eta_n&\text{$m$ odd}\\0&\text{$m$ even}.\end{cases}$$

Por tanto, para $n\geq 3$,$\delta^{(n)}_*=\times m:\pi_{n+1}S^n\rightarrow\pi_{n+1}S^n$.

Este hecho está de acuerdo con Eric de la respuesta anterior, ya que $m^2\equiv m\mod 2$, pero corrige ligeramente su razonamiento defectuoso de la $n=2$ de los casos.

Answer 2

Para $n=2$, un elemento distinto de cero de a $\pi_3(S^2)\cong\mathbb{Z}$ es la Whitehead plaza de $[\iota,\iota]$ donde $\iota\in\pi_2(S^2)$ es la canónica generador (de hecho, $[\iota,\iota]$ es el doble de un generador de $\pi_3(S^2)$). Desde la Whitehead producto es bilineal, un grado $m$ mapa en $S^2$ mapas de $[\iota,\iota]$$[m\iota,m\iota]=m^2[\iota,\iota]$. De ello se desprende que un grado $m$ mapa de actos en $\pi_3(S^2)$ por la multiplicación por $m^2$.

Para$n>2$, $(n-2)$veces suspensión de $\pi_3(S^2)\to \pi_{n+1}(S^n)$ es surjective. Desde un grado $m$ mapa en $S^n$ es sólo un $(n-2)$veces la suspensión de un título $m$ mapa en $S^2$, actúa en $\pi_{n+1}(S^n)$ por la multiplicación por $m^2$. En otras palabras, actúa por la identidad si $m$ es impar y por $0$ si $m$ es incluso.

De manera más general, en el rango estable de homotopy grupos de esferas, un grado $m$ mapa de los actos por la multiplicación por $m$. De hecho, si $\pi_k(S^n)$ está en el rango estable, a continuación, $S^n\to \Omega S^{n+1}$ induce un isomorfismo en $\pi_k$. Ahora veo que por Eckmann-Hilton, el grupo de operación $\pi_k(\Omega S^{n+1})$ coincide con el grupo de operación inducida por la concatenación de los bucles en $\Omega S^{n+1}$. Pero ahora observar que la composición de la $S^n\stackrel{\delta_m}\to S^n\to \Omega S^{n+1}$ es homotópica a la composición de la $S^n\to \Omega S^{n+1}\stackrel{\mu_m}\to\Omega S^{n+1}$ donde $\mu_m$ lleva un lazo a su $m$veces concatenación con sí mismo (esto es, de nuevo, por Eckmann-Hilton: hay dos operaciones en $[S^n,\Omega S^{n+1}]$, uno de los cogroup estructura en $S^n$ y uno de la estructura de grupo en la $\Omega S^{n+1}$, y deben ser iguales). Esto significa que el mapa inducida por $\delta_m$ $\pi_k(S^n)\cong \pi_k(\Omega S^{k+1})$ es la multiplicación por $m$.

(Más en general, la composición es bilineal en el establo homotopy categoría. Aquí estamos usando que la composición de un mapa de $S^k\to S^n$ con la suma de $m$ copias del mapa de identidad $S^n\to S^n$ es homotópica a la suma de $m$ copias de nuestro mapa de la $S^k\to S^n$, que es un caso especial de que bilinearity.)