Para hallar el mínimo valor de 'k' por la siguiente ecuación

Question

Deje $\mathrm a,b$ son números reales positivos tales que para $\mathrm a - b = 10$, el menor valor de la constante de $\mathrm k$ que $\mathrm {\sqrt {x^2 + ax}} - {\sqrt{x^2 + bx}} < k$ todos los $\mathrm x>0$, es?

No entiendo cómo abordar este problema. Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Deje $f :\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R} \quad $tal que$\quad f(x) = \sqrt{x^2 + ax} - \sqrt{x^2+bx}$

Observe que $f(x)$ es creciente cuando $a>b$ , $f(x) = 0$ al $a=b$ $f(x)$ es decreciente cuando se $a<b$.

Ahora, cuando $a>b$ $\lim_{x \to \infty} f(x) = 5$

Por lo tanto $\sqrt{x^2 + ax} - \sqrt{x^2+bx} < 5 \qquad \forall a,b \in \mathbb{R}^+$

Answer 2

De un modo elemental ($x>0$): $$f(x) = \sqrt{x^2 + ax} - \sqrt{x^2+bx} = \frac{x^2 + ax - (x^2+bx)}{\sqrt{x^2 + ax} + \sqrt{x^2+bx}} =\frac{(a - b)x}{x\sqrt{1 + \frac{a}{x}} + x\sqrt{1 + \frac{b}{x}}}= \frac{(a - b)}{\sqrt{1 + \frac{a}{x}} + \sqrt{1 + \frac{b}{x}}} < \frac{a-b}{2}= 5$$

Answer 3

En primer lugar, sustituya $a$ en la desigualdad por $b+10$. Ahora la mano izquierda tiene un solo parámetro. Tomar la derivada con respecto al $x$, se ajusta a cero, y encontrar los $x$ valor de la máxima como una función de la $b$. Conectarlo y encontrar el lado izquierdo máximo como una función de la $b$. Tomar la derivada, se establece en cero....