Demostrando divergencia de $\int_1^{\infty}e^{-\arctan(x)}\ \mathrm{d}x$

Question

Quiero demostrar que la integral: $$\int_1^{\infty}e^{-\arctan(x)}\ \mathrm{d}x$$

diverge.

He intentado utilizar las diferentes pruebas de comparación, pero no podía llegar a nada.

Me gustaría obtener una sugerencia, y espero seguir desde allí por mi propia cuenta.

Answer 1

Tenga en cuenta que\begin{align}\lim_{x\to+\infty}e^{-\arctan x}&=e^{-\lim_{x\to+\infty}\arctan x}\\&=e^{-\frac\pi2}.\end{align}por Lo tanto, tome $M>0$ tal que $M<e^{-\frac\pi2}$. Luego, compara tus integral con $\int_1^{+\infty}M\,\mathrm dx$.

Answer 2

La sustitución de $x=\tan t$ vuelve a escribir la integral como $$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}e^{-t}\sec^2(t)\ \mathrm{d}t\ge e^{-\pi/2}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\sec^2(t)\ \mathrm{d}t=\infty.$$