Quiero saber si se puede conseguir lejos con sólo tener un conjunto de coordenadas para un colector si permitimos múltiples coordenadas de mapa al mismo punto.
Respuestas
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Un requisito obvio, es que el $M$ debe estar conectado. Este también es suficiente.
Para obtener una superficie lisa surjection $f:\mathbb{R}^n\to M$ conectado a $n$-colector $M$, cubierta $M$ por countably a los numerosos conjuntos de $(U_n)_{n\in\mathbb{Z}}$ cuales son diffeomorphic a bolas en $\mathbb{R}^n$ (y de tal manera que estos diffeomorphisms puede ser extendido para suavizar los mapas en un barrio de $\overline{U_n}$). Ahora vamos a $f$ mapa de $(2n,2n+1)\times\mathbb{R}^{n-1}$ diffeomorphically a $U_n$ por cada $n$. En los conjuntos de la forma $[2n+2,2n+3]\times\mathbb{R}^{n-1}$, acabamos de interpolar sin problemas (cerca de la frontera, utilizamos el hecho de que nuestro diffeomorphisms extender a un barrio de $\overline{U_n}$, y, a continuación, en entre nosotros el uso de la conectividad de $M$ dejar $f$ sigue camino entre un punto de $U_n$ y un punto de $U_{n+1}$).
Continuo de los mapas, podemos hacerlo aún mejor: se puede conseguir una continua surjection $\mathbb{R}\to M$. La construcción es similar, excepto que en lugar de diffeomorphisms para coordinar los gráficos utilizamos el espacio de llenado de las curvas.
Jack Bolding
Puntos
2528
Otra construcción pasa a través de métricas de Riemann. Suponga que $M$ está conectado. Si usted pone una completa métrica de riemann en su colector, el mapa exponencial $\exp_p:T_pM\rightarrow M$ será surjective. La idea es que cualquiera de los dos puntos están conectados por una línea geodésica. Usted puede ver el mundo de pie en un punto!
