Estoy leyendo este papel (Una Prueba Geométrica de la Perron-Frobenius Teorema, A. Borobia, U. R. Trias, Revista de Mathematica de la Universidad Conplutense de Madrid, Vol. 5, 1992) en un corto geométrica prueba de Perron-Frobenius es el teorema dado. Estoy teniendo problemas en un solo lugar, lo que me articular a continuación. Yo sacrifica parte de la generalidad en el servicio de la simplicidad.
Deje $A$ $n\times n$ matriz con real positivo entradas y $T:\mathbf R^n\to \mathbf R^n$ ser lineal mapa cuya representación de la matriz con respecto a la norma base es igual a $A$. Definir $$C=\{(x_1, \ldots, x_n)\in \mathbf R^n:\ x_i>0\}, \quad \bar C=\{(x_1, \ldots, x_n)\in \mathbf R^n:\ x_i\geq 0\}$$
Los siguientes son verdaderas:
Teorema 1. Hay un autovalor positivo de $T$, con su correspondiente vector propio en $C$.
Teorema 2. Si $\lambda$ es un valor propio como en el Teorema 1, entonces la multiplicidad geométrica de $\lambda$$1$.
Teorema 3. Si $\lambda$ es un valor propio como en el Teorema 1, entonces la multiplicidad algebraica de $\lambda$$1$.
(Claramente, el Teorema de $3$ subsume Teorema 2.)
Teorema 1 se puede probar usando Brouwer del teorema de punto fijo (BFPT). Nos damos cuenta de que si $R$ es la colección de todos los rayos en $\mathbf R^n$ de la forma $\{av:\ a\geq 0\}$ algunos $v\in \mathbf R^n$ tener todas las entradas no negativas, entonces $R$ es fijo, como un conjunto, por $T$. Pero $R$ es homeomórficos a la $n-1$ disco, y por lo tanto por BFPT vemos que hay algunos rayos en $R$ que es fijado por la $T$. Esto inmediatamente le da $1$. (El fijo de rayos no puede mentir en $\partial C$ debido a que todas las entradas de $A$ son positivos.)
Por el Teorema 2 se argumenta de la siguiente manera. Deje $\lambda$ ser un autovalor positivo de $T$ $v$ correspondiente autovector, cuyas entradas son positivos. Si la multiplicidad geométrica de $\lambda$ no $1$, entonces no es un vector $u\notin \text{span}(v)$$Tu=\lambda u$. Deje $V$ ser el avión se extendió por $u$$v$. Cada rayo en $V$ es fijo por $T$. Pero hay un rayo en $V$ atravesado por un vector en $\partial C$, la cual no puede permanecer fijo en $T$, dando una contradicción.
Estoy atascado con la prueba del Teorema 3. La prueba en el citado documento se desarrolla como sigue. Deje $\lambda$ ser un autovalor positivo con la correspondiente autovector $v$ tener todas las entradas positivas. Suponga que la multiplicidad algebraica de $\lambda$ es de más de $1$. A continuación, podemos encontrar una $T$invariante en el plano de la $U$ contiene $\text{span}(v)$. Deje $S^1$ se identifica con el conjunto de los rayos en $U$. Deje $r$ $-r$ denotar los rayos se extendió por $v$ $-v$ respectivamente. Por Theorme 2, $S^1$ no es el punto-sabio fijo bajo la acción de $T$.
Y aquí es lo que no me siga:
El conjunto de puntos en $S^1$ que se fija por la acción de la $T^2$ no consiste sólo en $r$$-r$. Otros sabios de la dinámica de la acción de la $T^2$ $S^1$ se parece a esto
Aquí $L$ es el arco de $S^1$ formado por la intersección de $S^1$ con el conjunto de los rayos en $\bar C$.
EDIT: ¿Por $T^2$ necesita tener un punto fijo aparte de $r$ $-r$ puede argumentar de la siguiente manera: Supongamos que en el contrario. Tenga en cuenta que $T^2$ es la orientación de la preservación. De modo que el arco "por encima" de los puntos de $-r$ $r$ (incluyendo $-r$$r$) se asigna a sí mismo con arreglo a $T^2$. Dado que este es homeomórficos para el intervalo cerrado, todos los puntos en el arco abierto convergen a $r$ bajo la recorre de $T^2$, o de todos los puntos del arco abierto convergen a $-r$ bajo la recorre de $T^2$. Pero los conjuntos de $C$ $-C:=\{-x:\ x\in C\}$ son invariantes bajo $T^2$ así que tenemos una contradicción.
Puede alguien explicar esta última pieza de razonamiento. Y ¿cómo es que nos ayuda a deducir que la multiplicidad algebraica de $\lambda$$1$. Este argumento es en la parte inferior de la segunda página del documento que se menciona.
