Estuve investigando por primera vez la secuencia (A111000) definido por la función $$a_n = \lfloor\zeta(\zeta(n))\rfloor$$ donde $\zeta(n)$ es la de Riemann Zeta Función y $$\lfloor x \rfloor = \max\{m \in \mathbb{Z} \mid m \leq x\}$$ también conocida como la función del suelo. Comienza la secuencia, $a_n = 2, 5, 12, 27, 58, 120, ... \text{ for } n = 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...$
Luego traté de investigar otras funciones relativas a la Función Zeta de que podría satisfacer el requisito de que la parte positiva del límite infinito, tiende hacia el infinito. Esto me llevó a $$b_n = \left\lfloor\frac{1}{\zeta(n)-1}\right\rceil$$ donde $\lfloor x \rceil = \left\lfloor x + \frac{1}{2} \right\rfloor$. Y en segundo lugar, $$c_n = \lceil\Gamma(\zeta(n)-1)\rceil$$ donde $\Gamma(n)$ es la Función Gamma y $$\lceil x \rceil = \min\{n \in \mathbb{Z} \mid n \geq x\}$$ He encontrado que, por alguna razón, la que genera las secuencias eran muy similares. $$a_n = 2, 5, 12, 27, 58, 120, 245, 498, 1006, 2024, 4064, 8149, 16327, 32692, ...$$ $$b_n = 2, 5, 12, 27, 58, 120, 245, 498, 1005, 2024, 4064, 8149, 16327, 32692, ...$$ $$c_n = 2, 5, 12, 27, 58, 120, 245, 498, 1005, 2023, 4064, 8149, 16327, 32692, ...$$ El que parecía ser el mismo para casi todas las $n$. He probado hasta a $n = 1000$ y encontraron las siguientes observaciones para ser verdad hasta que punto. $$a_n \geq b_n \geq c_n \text{, and by Squeeze Theorem, if } a_n = c_n \text{ then } a_n = b_n = c_n$$ $$a_n - c_n \leq 1$$ Tengo curiosidad por qué estos valores son similares. Hay cierta igualdad o cerca de igualdad no sé acerca de. Es posible demostrar mis observaciones? Cómo?
