¿Se puede corregir la falta del multiplicativity de factores de Euler en malos números primos?

Question

Advertencia: Este uno de esos no-nadie-sabe-cómo-a-fix-este-vago-problema de preguntas, y no se trata de una pregunta de matemáticas.

Si $X$ es un sistema finito de escribir sobre un campo finito, entonces la función zeta $Z(X,t)$ se encuentra en $1+t\mathbf{Z}[[t]]$. Podemos calcular la función zeta de un discontinuo de la unión por la fórmula $Z(X\amalg Y,t)=Z(X,t)Z(Y,t)$. También hay una fórmula para $Z(X\times Y,t)$ en términos de$Z(X,t)$$Z(Y,t)$, pero este es un poco más complicado. De hecho, estas dos fórmulas son precisamente el estándar de gran Witt adición de vectores y la multiplicación de la ley en el set $1+t\mathbf{Z}[[t]]$. (En realidad, hay más de un estándar de normalización, por lo que tiene de obtener el derecho. Creo que esta estructura de anillo fue escrito por primera vez por Grothendieck en su apéndice a Borel-Serre, pero no sé a quien primero se hizo la conexión con el anillo de Witt vectores como se definió anteriormente por Witt.) Si dejamos $K_0$ ser el grupo de Grothendieck sobre el isomorfismo de las clases de este tipo de programas, donde además es distinto de la unión y la multiplicación es producto cartesiano, entonces obtenemos un anillo mapa de $K_0\to 1+t\mathbf{Z}[[t]]$. También podríamos hacer todo esto con la L-factor de $L(X,s)=Z(X,q^{-s})$ (donde $q$ es la cardinalidad del campo finito) en lugar de la función zeta. Esto es debido a que determinar cada uno de los otros.

Todo esto es bueno. El problema que tengo es cuando hay mal de reducción. Así que ahora vamos a $X$ ser un esquema finito de tipo más de $\mathbf{Q}$ (por ejemplo). A continuación, la L-factor de $L_p(X,s)$ está definido por $$L_p(X,s)=\mathrm{det}(1-F_p p^{-s}|H(X,\mathbf{Q}_{\ell})^{I_p}),$$ donde $I_p$ es la inercia de grupo en $p$. (Lo siento, no voy a explicar el resto de la notación.) Si $I$ actos trivialmente (en cuyo caso uno podría decir $X$ tiene buena reducción), y luego tomar las invariantes bajo $I$ no hace nada, y así como por encima, la L-factor de un producto y la suma de las variedades está determinada por el L-factores. Si $I$ no actúa trivialmente, a continuación, la L-factor de una suma es de nuevo el producto de la persona L de los factores, sino para los productos que no existe tal fórmula! (El siguiente debería ser un ejemplo a mostrar esto. Tomar $X=\mathrm{Spec}\ \mathbf{Q}(i)$, $Y=\mathrm{Spec}\ \mathbf{Q}(\sqrt{2})$. La tenemos los siguientes factores de Euler a las 2: $L_2(X,s)=L_2(Y,s)=L_2(X\times Y,s)=1-2^{-s}$$L_2(X\times X,s)=(1-2^{-s})^2$. Por lo que la L-factores de los dos esquemas no determinar que del producto). Por lo tanto, la costumbre de Euler factor es imposible darle un anillo mapa definido en el anillo de Grothendieck de variedades de más de $\mathbf{Q}$.

Así que, ¿hay una manera de arreglar este problema? Me imagino que la respuesta es No, porque mientras que algunas personas podrían permitir a escala de Euler factores por los números, no creo que nadie te cambie por otra cosa. Pero tal vez hay algo de "refinado L-factor" que determina la habitual (y tal vez incorpora la mayor cohomology de la inercia del grupo?) Suponiendo que no se conoce ninguna manera de arreglar las cosas, tengo una pregunta: ¿hay algún general formalismo que se encarga de este fracaso? Y si es así, ¿cómo funciona eso?

Answer 1

James: dado que nadie contestó este, sin embargo, permítanme hacer algunos ingenuos comentarios que usted probablemente ya sabe.

Por supuesto, el problema es que si $I_p$ no actúa trivialmente, a continuación, "toma de $I_p$-invariantes" no functorial como te gustaría que fuera. Por ejemplo, considere dos 1-dimensional ($\ell$-ádico, o incluso complejos) representaciones $\rho_1$$\rho_2$$D_p$, una descomposición grupo en $p$, cada una con $I_p$ no-trivial, y con $I_p$ también en calidad de no-trivial en $\rho_1\otimes\rho_2$. A continuación, el local $L$-factores de $\rho_1$, $\rho_2$ y $\rho_1\otimes\rho_2$ se encuentran a solo 1, pero el local $L$-factor de $\rho_1\otimes(\rho_1^{-1})$ es claramente no 1. En cierto sentido, este ejemplo es incluso más simple que el ejemplo que das.

Pero lo que el ejemplo se supone que el estrés es el problema bsico subyacente (que es de suponer que usted ya sabe): si $G$ es el grupo que actúe en f.d. espacios vectoriales $M_1$$M_2$, $M_1^G\otimes M_2^G$ puede fácilmente ser estrictamente menor que $(M_1\otimes M_2)^G$. Por lo tanto el momento en el que uno considera el local de Euler factor (que sólo depende de la $G$-invariantes, donde aquí $G$ es la inercia de los subgrupos) se ha perdido demasiada información.

Pero, ¿por qué no simplemente considerar que el anillo de clases de isomorfismo de $\ell$-ádico representaciones de $D_p$ lugar? Esa es una perfectamente buena anillo, y tiene directa sumas y tensor de productos, y, presumiblemente, si se consideran representaciones virtuales también entonces tal vez usted puede ver los mapas del anillo que usted menciona anteriormente a este anillo (a través de Kunneth?). Tal vez este anillo es "demasiado grueso" para usted? No estoy seguro. Pero, si lo es, y usted está después de algunos de los más finos invariante, entonces seguramente el invariante dependerá sólo de la acción de $D_p$. Así que al menos esta observación de alguna manera elimina toda la geometría de la pregunta, que tal vez ahora es "me da un cociente del anillo del anillo de representantes de $D_p$" que todavía distingue no isomorfos unramified representaciones" o algo así.

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EDIT: (adición importante a la respuesta). La noche me di cuenta de que realmente todas las respuestas de arriba estaba diciendo era la siguiente. Usted quiere encontrar un mapa desde el anillo de Grothendieck a "zeta-funciones". Estoy sugiriendo que debemos empezar por factorización este mapa en tres piezas. Ahora me doy cuenta de que estoy un poco confusa en cuanto a si esto se puede hacer. En primer lugar yo soy lo que sugiere que se comienza con el envío de una variedad a la correspondiente motivación. Ahora ya me doy cuenta de que yo podría estar en problemas, porque creo que el motivo siempre ha realizaciones, que son representaciones, y algo en su anillo de Grothendieck posible que a veces sólo tienen un virtual rep conectados a él. Pero permítanme caso omiso de este problema. La próxima quiero ir de motivos para sus realizaciones (rep $D_p$ $\ell$- ádico espacio vectorial). Ahora me quiero ir a partir de esta representación, a su $L$-función (definida como en la pregunta), y quiero decir que tu mapa (estoy confundido acerca de su mapa, porque aunque no sé si se está arreglando un grado de cohomology o buscando en todos los grados a la vez y tomar una alternancia de suma) los factores que de alguna manera como un compuesto de estos 3 mapas. Finalmente estoy reclamando que sus quejas son sólo acerca de la última mapa, así que realmente tu pregunta es puramente representación de la teoría. No estoy seguro si estoy en lo correcto acerca de este formalismo, por lo que yo quería señalar de forma explícita.

Siguiente, he aquí un ejercicio que puede que desee probar. El grupo $I_p$ tiene un pro-$\ell$ componente por lo que podría tener algunos más cohomology en $\ell$-ádico espacios vectoriales. Sospecho que $D_p/I_p$ actúa en $H^i(I_p,M_\ell)$ todos los $i$. Por qué no tomar la alternancia producto de estos y, a continuación, tomar char poli de Frobenius? Puñalada en la oscuridad! Podría no llegar a ninguna parte.

Answer 2

Cuando le pregunté Niranjan Ramachandran esta pregunta hace un par de días, señaló que, de hecho, puede solucionar el problema si usted trabaja con la forma de modelos en lugar de las variedades de más de $\mathbf{Q}$: Vamos a $X$ ser un esquema finito de tipo más de $\mathbf{Z}$ y definir el factor de Euler $L_p(X,s)$ $P_p(X,p^{-s})$ donde $P_p(X,t)$ es el Zeta-función de la fibra de $X$ $p$. A continuación, el multiplicativity del producto $\prod_p L_p(X,s)$ sigue inmediatamente después de la de Zeta-funciones para las variedades sobre campos finitos. He aquí que, en el ejemplo dado anteriormente, los productos de la mínima integral de los modelos son diferentes de la mínima integral de los modelos de los productos. (Todo esto es un poco vergonzoso, no sólo porque la solución es muy fácil, pero porque tengo una cierta cantidad de placer en decirle a la gente que es mejor trabajar directamente con la forma de modelos! También, disculpas a las personas que dedicaron tiempo a pensar acerca de esto. Probablemente me dio la impresión de que se trabaja con variedades de más de $\mathbf{Q}$ no era negociable!)