Sin el uso de una calculadora, es $\sqrt[8]{8!}$ o $\sqrt[9]{9!}$ mayor?

Question

El que es mayor entre $$\sqrt[8]{8!}$$ and $$\sqrt[9]{9!}$$ ?

Quiero saber si mi prueba es correcta...

$$\begin{align} \sqrt[8]{8!} &< \sqrt[9]{9!} \\ (8!)^{(1/8)} &< (9!)^{(1/9)} \\ (8!)^{(1/8)} - (9!)^{(1/9)} &< 0 \\ (8!)^{(9/72)} - (9!)^{8/72} &< 0 \\ (9!)^{8/72} \left(\left( \frac{8!}{9!} \right)^{(1/72)} - 1\right) &< 0 \\ \left(\frac{8!}{9!}\right)^{(1/72)} - 1 &< 0 \\ \left(\frac{8!}{9!}\right)^{(1/72)} &< 1 \\ \left(\left(\frac{8!}{9!}\right)^{(1/72)}\right)^{72} &< 1^{72} \\ \frac{8!}{9!} < 1 \\ \frac{1}{9} < 1 \\ \end{align}$$

si no es correcta ¿cómo sería?

Answer 1

$$(\sqrt[8]{8!})^ {72}= (8!)^9 = (8!) (8!)^8$$

$$(\sqrt[9]{9!})^ {72} = (9!)^8 = (9\times 8!)^8 = 9^8 (8!)^8$$

La segunda, gana las manos abajo.

Answer 2

Usted está implícitamente escrito que $$\frac{(8!)^{(9/72)}}{(9!)^{(8/72)}} = \left( \frac{8!}{9!} \right)^{(1/72)}$$ lo cual es incorrecto.

Answer 3

Otra forma de ver esto es convertir a ambos lados en dos "medias".

• "La distribución uniforme sobre $\{\log1,\dots,\log8\}$": $$\frac{\log1 + \dots + \log8}{8}$$
• "La distribución uniforme sobre $\{\log1,\dots,\log9\}$": $$\frac{\log1 + \dots + \log9}{9}$$

Intuitivamente, la tarde se tiene un mayor "expectativa", por lo que el resultado de la siguiente manera. Si usted no está satisfecho con este probabilística de la interpretación, salto de la tarde en una suma de dos términos y reagrupar a ellos como

$$\begin{align} & \frac{\log1 + \dots + \log8}{8} < \frac{\log1 + \dots + \log8}{9} + \frac{\log9}{9} \\ &\iff (\log1 + \dots + \log8) \left(\frac18-\frac19\right) < \frac{\log9}{9} \\ &\iff \frac{\log1 + \dots + \log8}{72} < \frac{\log9}{9} \\ &\iff \log1 + \dots + \log8 < 8 \log9 \end{align}$$

La última desigualdad se cumple desde $\log$ es estrictamente creciente.

Answer 4

Tenemos obviamente $8!<9^8$. Por lo tanto, se deduce que el $(9!)^8=(8!\cdot9)^8=(8!)^8\cdot 9^8>(8!)^8\cdot(8!)=(8!)^9$. Esto implica que $(9!)^{1/9}>(8!)^{1/8}$.

Answer 5

Este paso no se ve bien para mí: \begin{gather} (8!)^{(9/72)} - (9!)^{8/72} < 0 \\[6px] (9!)^{8/72} \left(\left( \frac{8!}{9!} \right)^{(1/72)} - 1\right) < 0 \end{reunir} Cuando se divide $(8!)^{9/72}$$(9!)^{8/72}$, usted debe conseguir $$\frac{(8!)^{9/72}}{(9!)^{8/72}} = \frac{(8!)^{9/72}}{(9\cdot8!)^{8/72}} = \frac{(8!)^{1/72}}{(9)^{8/72}} = \frac{(8!)^{1/72}}{(9)^{1/9}} = \left( \frac{(8!)^{(1/8)}}{9} \right)^{1/9}$$

También, tenga en cuenta que la prueba es, básicamente, de esta forma: \begin{gather} a < b \\[6px] a - b < 0 \\[6px] \left(\frac{a}{b} -1\right) < 0\\[6px] \frac{a}{b} < 1 \end{reunir} Usted puede saltarse varios pasos y acaba de hacer \begin{gather} a < b \\[6px] \frac{a}{b} < 1 \end{reunir}