Encontrar un cerrado expresión de una fórmula que incluya suma

Question

Vamos a:
$$\sum\limits_{k = 0}^n {k\left( {\matriz{ n \cr k \cr } } \right)} \cdot {4^{k - 1}} \cdot {3^{n - k}}$$

Encontrar un ormula cerrada (sin adición). Creo que debería definir esto como una "serie" que genera por $F(x)$. No tengo realmente una ventaja aquí.

Alguna idea? Gracias.

Answer 1

De acuerdo con el teorema del binomio, tenemos $$ (x+y)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k} x^k y^{n-k}.\tag1 $$ La diferenciación $(1)$ con respecto al $x$ rendimientos $$ n(x+y)^{n-1}=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} k\ x^{k-1} y^{n-k},\tag2 $$ luego pluging en $x=4$$y=3$$(2)$.

Answer 2

Sugerencia: Utilice el hecho de que para $k\ge 1$ tenemos $k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}$ y creo Teorema del Binomio.

Answer 3

Como Sugerencia: \begin{align*} \sum_{k = 0}^n k\binom{n}{k}4^{k-1}\cdot3^{n-k}=0\cdot\binom{n}{0}\cdot4^{-1}\cdot3^n+\sum_{k = 1}^n n\binom{n-1}{k-1}4^{k-1}\cdot 3^{n-k} \end{align*}

Answer 4

Sugerencia: $$\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\matriz{ n \cr k \cr } } \right)} \cdot {x^{k}} \cdot {3^{n - k}}=\left(x+3\right)^n$$

Answer 5

El binomio de expansión está dado por \begin{align} (1+x)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{k}. \end{align} La diferenciación de ambos lados con respecto a $x$ rendimientos \begin{align} n (1+x)^{n-1} = \sum_{k=0}^{n} k \ \binom{n}{k} x^{k-1}. \end{align} Multiplicando esta última expresión por $3^{n} 4^{-1}$ conduce a \begin{align} \frac{3^{n} n}{4} \ x(1+x)^{n-1} = \sum_{k=0}^{n} k \ \binom{n}{k} 4^{-1} 3^{n} x^{k}. \end{align} Ahora vamos a $x = 4/3$ para obtener el deseado de expresión \begin{align} n \cdot 7^{n-1} = \sum_{k=0}^{n} k \ \binom{n}{k} 4^{k-1} 3^{n-k}. \end{align}