Estoy tratando de demostrar que $\ell_\infty^*$ tiene el Dunford--Pettis propiedad. Es suficiente para demostrar que $\ell_\infty$ no contiene una copia de $\ell_1$ ... pero estoy teniendo algunos problemas para hacer eso. Alguien me puede ayudar ?
Este es mi enfoque. He encontrado este resultado que dice que $X^*$ ha DPP iff $X$ $DPP$ y no contiene una copia de $\ell_1$. Así que estoy tratando de mostrar que $\ell_\infty$ no contiene una copia de $\ell_1$ . He encontrado un resultado que dice que si $T\colon X \to \ell_1$ está delimitado lineal y, a continuación, en $X$ contiene un complementado copia de $\ell_1$. Parecía que podría utilizar esto para probar el resultado por la contradicción, mostrando que $\ell_\infty$ tiene un complementado copia de $\ell_1$, lo cual es absurdo, ya que $\ell_\infty$ es primo.
Pero me atraparon, me temo que tengo el camino equivocado.
Supongamos $T\colon \ell_\infty \to \ell_1$ es un isomorfismo en su imagen. A continuación, $T^{-1}\colon \mathrm{Im} \; T \to \ell_1$ a, delimitada y lineal. Por lo tanto, $\mathrm{Im} \; T$ contiene un complementado copia de $\ell_1$. Por lo que puedo ver que $\ell_1$ es un subespacio complementado de una (no se complementan) el subespacio de $\ell_\infty$. Me parece que no puede cerrar la brecha. Es este el enfoque correcto ?
Gracias de antemano.
