Una revisión "rápida" y "manual" enfoque para la clasificación de un conjunto de fracciones

Question

Lo que podría ser el más rápido manual de enfoque para la clasificación (ascendente) estas fracciones:

$$\frac{117}{229},\frac{143}{291},\frac{123}{241},\frac{109}{219}$$

Yo también estaría muy agradecido si alguien explicar un enfoque manual general de clasificación de las fracciones que realmente no sigue ningún patrón.

Answer 1

La forma más rápida es utilizar perezoso continuó fracción expansiones, calculada en paralelo, como he explicado en una respuesta a una pregunta similar. Su ejemplo que requiere de un solo paso manualmente, viz.

$$ 2-\dfrac{5}{117}\ <\ 2-\dfrac{5}{123}\ <\ 2+\dfrac{5}{5\cdot109}\ <\ 2+\dfrac{5}{143} $$

Answer 2

La respuesta por lhf es la única manera real (aparte de la elegante método descrito por Bill Dubuque). Usted puede utilizar algunas ad hoc técnicas que hace que los números más pequeños. Un posible truco es que para enteros positivos $a,b,c,d$ siempre tenemos que la mediant $(a+c)/(b+d)$ entre $a/b$$c/d$. Trabaja aquí. El desarrollo de los dos primeros es $260/520=1/2$, para comparar estos dos sólo debe decidir, que es mayor que $1/2$, y que es más fácil con lhf de la prueba (= la definición de la orden de los racionales).

De un promedio ponderado de mediant podría funcionar mejor a veces, pero a veces simplemente no se puede evitar de conseguir un poco de tierra en sus manos.

Answer 3

La única manera que conozco de la comparación de fracciones sin considerar equivalentes decimales es por la cruz que la multiplicación: $\displaystyle\frac a b < \frac c d $ fib $ad < bc$ (suponiendo fracciones positivas).

Answer 4

En primer lugar, tenga en cuenta que $$ \frac{{117}}{{229}},\;\frac{{123}}{{241}} > \frac{1}{2} $$ y $$ \frac{{143}}{{291}},\;\frac{{109}}{{219}} < \frac{1}{2}. $$ Por lo tanto, es suficiente para mostrar $$ \frac{{117}}{{229}} > \frac{{123}}{{241}} $$ y $$ \frac{{143}}{{291}} < \frac{{109}}{{219}}. $$ Para la primera desigualdad, tenga en cuenta que $$ \frac{{123}}{{241}} = \frac{{117 + 6}}{{229 + 12}} < \frac{{117}}{{229}}, $$ desde $$ \frac{6}{{12}} = \frac{1}{2} < \frac{{117}}{{229}}. $$ Para la segunda desigualdad, tenga en cuenta que $$ \frac{{143}}{{291}} = \frac{{109 + 34}}{{219 + 72}} < \frac{{109}}{{219}}, $$ desde $$ \frac{{34}}{{72}} < \frac{{109}}{{219}}. $$ (La última desigualdad se puede dar por sentado, observando que $109/219 \approx 0.5$.)