Es $C[0,1]$ un espacio de Banach con respecto a la norma $\|f\| = \int\limits_0^1|f(t)| \, dt$ ?
La gente sigue diciéndome que lo es, pero considerémoslo: $f_n(x) = x^n$ . Esta función define una sucesión de Cauchy, pero el límite no es una función continua.
En virtud de la $L^1$ norma, $C[0,1]$ no es un espacio de Banach. Su ejemplo $f_n(x) = x^n$ no funciona ya que $\|f_n(x) - 0\| \to 0$ como $n \to \infty$ por lo que esta secuencia tiene un límite en $C[0,1]$ . Sin embargo, es bien sabido que se puede crear una secuencia $g_n \in C[0,1]$ tal que $g_n \to 1_{A}$ para cualquier intervalo $A \subset [0,1]$ por ejemplo $A = (1/4, 3/4)$ pero no hay $g \in C[0,1]$ tal que $\|g - 1_A\| = 0$ .
En primer lugar $\Vert \cdot \Vert$ es sólo una seminorma (intente encontrar una $f \in C[0,1]$ con $\Vert f \Vert = 0$ pero $f \neq 0$ ).
La norma estándar en $C[0,1]$ viene dado por $\Vert f \Vert_\infty = \sup_{x \in [0,1]} \vert f(x) \vert$ . Respetar esta norma $C[0,1]$ es un espacio de Banach debido al teorema de Weierstrass. Espero que te sirva de ayuda :)
¿Qué pasa con $f_n(x) = min(n, 1/x)$ ? Esto converge a $1/x$ ¡que no es una función continua!
@yaddle $\lVert\bullet\rVert$ es una norma en $C[0,1]$ . Esto no lo convierte en un espacio de Banach, pero con toda seguridad si $\lVert f\rVert =0$ entonces $f=0$ .
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$\lim f_n=0$ para esta norma.
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Eso no es una norma, sólo una seminorma. $\int_0^1 t - \frac{1}{2}\,dt = 0$ . ¿Debería ser $\int_0^1 \lvert f(t)\rvert\,dt$ ?
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Tenía la impresión de que sí. En cualquier caso, el mismo argumento es válido para la $L^1$ norma. Voy a editar ahora.