Analítico de la forma cerrada para una integral definida

Question

Estoy haciendo un cálculo en la teoría cuántica de campos y la siguiente integral se me ocurrió $$ I(a)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{- \sqrt{x^2+1}}dx}{x^2+1} \qquad\ge 0. $$ Me gustaría saber una forma cerrada para él y el eventual pasos para lograr el resultado.

Gracias.

Answer 1

Permítanme indicar su integral por $I(a)$. Haciendo el cambio de variables $x=\sinh\varphi$, obtenemos $$I(a)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-a\cosh\varphi}d\varphi}{\cosh\varphi}.$$ Siguiente, diferenciando esta expresión con respecto a $a$, obtenemos $$I'(a)=-\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a\cosh\varphi}d\varphi=- 2K_0(a),$$ donde $K_0(a)$ denota el Macdonald de la función. Integrando de nuevo, nos encontramos con que $$I(a)=I(0)-2\int_0^aK_0(x)dx=\pi-2\int_0^aK_0(x)dx.$$ De acuerdo a Prudnikov-Brychkov-Marychev (Vol.2, fórmula 1.12.1.4), el resto de la integral se expresa en términos de Macdonald y modificado funciones de Struve, por lo que $$I(a)=\pi-2a\left\{K_0(a)+\frac{\pi}{2}\left[K_0(a)\mathbf{L}_1(a)+K_1(a)\mathbf{L}_0(a)\right]\right\}.$$ Presumiblemente, esta respuesta no añade nada útil para su integral, salvo que las correspondientes funciones especiales tienen un nombre, pero al menos uno puede estar seguro de que no se puede simplificar más.

Answer 2

Aquí es una forma cerrada en términos de la Meijer $G$-función

$$ I(a)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{- \sqrt{x^2+1}}dx}{x^2+1} =\frac{a^2}{4}\, G^{3, 0}_{1, 3}\left(\frac{{un}^{2}}{4}\, \Bigg\vert\,^{0}_{-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -1}\a la derecha).$$

Answer 3

Hay un error en el post original: gracias a Jon para señalarla.

Reconocer que la función es par, entonces usted puede integrar de 0 a $+\infty$ y multiplicar el resultado por 2, el sustituto de $u=\sqrt{x^2+1}$, y los que se quedan con $$ \int_1^{\infty} \frac{e^{-au}}{u^2}\sqrt{u^2-1}du $$

Que todavía no se han cerrado de forma que involucran funciones elementales.

Post Original:

Reconocer que la función es par, entonces usted puede integrar de 0 a $+\infty$ y multiplicar el resultado por 2, el sustituto de $u=\sqrt{x^2+1}$, y los que se quedan con $$ \int_1^{\infty} \frac{e^{-au}}{u^2}=2E_2(una). $$

Donde $E_2(\cdot)$ es la generalización de la integral exponencial, por lo que una forma cerrada no existe.