Solución a un momento determinado problema

Question

Estoy buscando una función de $f$ que satisface

1. $f(x)\geq0$
2. $\int f(x) \mathrm{d}x=1$
3. $\int xf(x) \mathrm{d}x=0$
4. $\int x^2f(x)\mathrm{d}x=1$
5. $\int x^4f(x)\mathrm{d}x=\delta$
6. $\int x^5f(x)\mathrm{d}x=\infty$
7. Tiene un "buen" antiderivada, no como la densidad de la Estudiante de la $t$-distribución con 5 grados de libertad y no como una serie.

Así que básicamente estoy buscando una densidad de $f$ que resuelve este trunca momento problema.

Mi enfoque fue hasta ahora a empezar con el lado derecho de la línea real:$$f_+(x)=\frac{1}{(x+\rho_1)(x+\rho_2)^2(x+\rho_3)^3}, x\geq0 $$ A continuación, me gustaría resolver para $\rho_1,\rho_2,\rho_2$ tal que $\frac{1}{2}$ de la especificada momentos coincidentes. Más tarde iba a llegar mi $f$ reemplazando $(\cdot)$$|\cdot|$. Sin embargo, me encuentro feo largo parcial fracción de descomposición y feo integrales. Hay más accesible enfoques de estas funciones racionales?

Answer 1

Si establece $f(x)=1/x^6$$x\ge m>0$, entonces usted ha tomado el cuidado de la cola. El resto de condiciones se pueden cumplir por un polinomio de grado 4 en $-m\le x\le m$$f(x):=0$$x<-m$. Sin embargo, la condición de $f(x)\ge 0$ descarta muchas de las soluciones. En general, $m$ dependerá $\delta$. Otra forma de obtener una solución es definir $f$ constante en ciertos intervalos. Por ejemplo, si $\delta=3$ puede establecer $m=1$ y $$ f(x):=\begin{cases}0&\text{if }\qquad\quad\ x<-3\\ \frac{2}{75}&\text{if }\ -3\le x<-2\\ \frac{3}{25}&\text{if }\ -2\le x<-1\\ \frac{33}{100}&\text{if }\ -1\le x<0\\ \frac{97}{300}&\text{if }\ \quad\ 0\le x<1\\ \frac{1}{x^6}&\text{if }\ \ \quad 1\le x \end{casos} $$

Por otra parte, usted puede construir las soluciones que se $C^{\infty}$, lo que lo aproxima localmente constante de soluciones de tales funciones.

${\bf{EDIT:}}$ Jugando con los límites y localmente constante de las funciones se puede establecer por ejemplo $$ f(x):=\begin{cases}0&\text{if }\qquad\quad\ x<-2\delta\\ \frac{k}{6\delta^6}&\text{if }\ -2\delta\le x<-\delta\\ a&\text{if }\ 0\le |x|<1\\ b&\text{if }\ \quad\ 1\le |x|<(\delta+1)/2\\ c&\text{if }\ \quad\ (\delta+1)/2\le |x|<\delta\\ \frac{k}{x^6}&\text{if }\ \ \quad \delta\le x \end{casos} $$ A continuación, $a,b,c$ puede ser determinado por las condiciones 2., 4. y 5. Si un conjunto $k:=\delta^2/800$, $a,b,c$ son positivos para $\delta\in[1.0026,6.9]$.