Iteración de Punto fijo método no puede converger a cualquiera de una función de infinte raíces

Question

Una ecuación es dada para mí que ha de ser resuelto de forma directa iteración del método: $$sin(x) = {x+1 \over x-1}$$ or $$f(x)=\sin(x)-{x+1 \over x-1} = 0$$

Me sigue el siguiente procedimiento con las razones que han dado a lo largo de:

Reorganizar la ecuación como: $$x=\sin^{-1}{{x+1\over x-1}}=g(x)$$

Entonces, tenemos $$g'(x) = {1 \over (1-x)\sqrt{-x}}$$

$$\implies \forall x < -1, \left|g'(x)\right| < 1$$

Ahora,

$\forall x < -1, 0 < {x+1 \over x-1} < 1$. Pero, $\sin{x}$ oscila entre 1 y -1 infinitamente largo de todo el dominio $\mathbb{R}$ y, por tanto, también su subconjunto, el intervalo de $(-\infty, -1)$. Por lo tanto, $\sin{x}$ cruza infinitamente con ${x+1 \over x-1}$, al menos una vez en su intervalo de tamaño de $\pi$. Estos puntos de intersección son exactamente las raíces de $f(x)$ sobre el intervalo de $\left(-\infty, -1\right)$.

Por lo tanto, si elegimos puntos arbitrarios $a,b < -1 : a - b \ge \pi$, $\sin{x}$ va de -1 a 1, al menos una vez, y desde ${x+1 \over x-1}$ siempre está entre 0 y 1, el período que contiene una raíz de $f(x)$.

Por lo tanto, para resumir, tenemos una función de $g(x)$ que se define sobre la negativa de número de línea, y es acotada y continua allí. En el número negativo de la línea, también tenemos un intervalo de $(a, b)$ donde tenemos una raíz de la ecuación dada. También, derivado de la $g(x)$ es numéricamente menor que uno en el intervalo dado.

Así que, idealmente, debería ser capaz de tomar cualquier valor de $x = x_0$ $(a, b)$ y debería ser capaz de obtener aumento de la mejor iteración.

Pero el hecho de que mi función $g(x)$ $sin^{-1}{{x + 1 \over x - 1}}$ significa que cualquier valor negativo de $x < -1 $rendimientos mí un valor positivo de iterar en el siguiente paso, que a su vez conduce a error de dominio.

Donde estoy equivocado? O, más precisamente, hay más condiciones que son necesarias para el punto fijo método iterativo que no son conocidos para mí. Un paso que parece dudoso para mí es el primer paso donde yo tome $sin^{-1}$ de la ecuación original en ambos lados, para obtener el $g(x)$, pero no soy capaz de identificar la forma en la que puede dar al traste con mi método.

Actualización: ahora se llama el método directo método iterativo para la iteración de punto fijo método. También, como se señaló en los comentarios de abajo, el problema parece estar en mi elección de $g(x)$ solamente. Estoy interesado en lo que realmente es. ¿Cómo puedo evitar que en el futuro también?

Answer 1

El problema está en la elección de $g(x)$ como en un principio dudaba de que en la propia pregunta. El Banach de punto fijo teorema, en la que este método se basa, dice:

Deje $\left(X, d\right)$ ser un no-vacío completo espacio métrico con una asignación de contracción $T : X \to X$. A continuación, $T$ admite un único punto fijo $x^*$ $X$ ( $T(x^*) = x^*$ ). Además, $x^*$ se puede encontrar lo siguiente: inicie con un arbitrario $x_0$ $X$ y definir una secuencia $\{x_n\}$$x_n = T(x_{n−1})$,$x_n \to x^*$.

Aquí, la ecuación elegida es $$x = g(x) = sin^{-1}{{x+1 \over x-1}}$$ por lo tanto, $$g : (-\infty, 0) \to (0, 1)$$

Por lo tanto, no hay sub-intervalo de $X$ $g$'s de dominio donde $g : X \to X$ es cierto. Dado que esta condición es necesaria para la definición de la asignación de contracción, esta $g(x)$ no puede ser una asignación de contracción real de número de línea, y desde Banach de punto fijo teorema habla acerca de la contracción de las asignaciones, no podemos usar esto $g(x)$ para la iteración de punto fijo método.