Una ecuación interesante con muchas iteraciones.

Question

Sea $ #% de %#% hallar el número de soluciones de la ecuación de $$f(x) = 1 -|1- 2x |.$ $

es decir, $$f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f (x))))))))))=x,$.

Y ¿qué pasa si hay un número arbitrario de repeticiones?

Answer 1

Dibujar la gráfica de $f$. Las soluciones de $f(x)=x$ son interseccions con la diagonal del primer cuadrante.

A continuación, dibuje el gráfico de $f(f(x))$. Parece que dos montañas (o tiendas). ¿Hoy muchas veces lo hace cruzar la diagonal?

Repita para $f(f(f(x)))$. ¿Ves un patrón?

Answer 2

La pregunta principal aquí es qué soluciones existen para $f(x)=x$, como te comento, una solución obvia es $x=0$, pero esto puede no ser único, así que vamos a ver si hay más.

Por lo tanto consideramos $1-|1-2x|=x$, si $-\infty\lt x\le \frac{1}{2}$, entonces se tiene:

$1-(1-2x)=x\Rightarrow 2x=x$ % que $x=0$.

Si $1/2\lt x\lt\infty$, entonces se tiene:

$1-(2x-1)=x\Rightarrow 2-2x=x\Rightarrow x=2/3$

Así que tenemos $x=0,2/3$ como soluciones.

Quizás te interese saber, que en $[0,1]$, este mapa exhibe comportamiento mucho como el mapa de la tienda, que es un mapa caótico.

Answer 3

Así $f^{10}(x)=x$ implica que el $f$ tiene que ser uno a uno por ciento $x$puesto que implica para que una composición ser inyectiva por lo menos una función ha de ser inyectiva, puesto que todas las funciones $f$ $f$ es inyectiva. De esto sabemos que $f(f(x))=x$ %#% $ #%