Resolver $3n^3 + 3n^2 + 4n = n^n$ en enteros positivos

Question

Así que mi primo es en la matemática (7mo grado) del equipo y que me pedía ayuda en uno de sus problemas pero no sé cómo resolver

Para qué entero positivo n hace $3n^3 + 3n^2 + 4n = n^n$

¿alguien sabe como hacerlo?

Answer 1

Esta es la solución mencionan en los comentarios y se animó a poner como un post completo:

Factor $n$ de la ecuación y reorganizar para conseguir $$ 4 = n (n ^ {n-2} - 3n - 3). $$ Es una factorización de $4$ en enteros positivos. Los factores de entero positivo sólo de $4$ son $1,2$ y $4$ y $n=1$ y $n=2$ no funcionan, así $n=4$.

Answer 2

De un pont algebraica de vista, usted podría considerar la función: $$f(x)=3x^3 + 3x^2 + 4x- x^x$$ and notice that $ f (0) = - 1 $, $f (1) = 9 $, $f # (2) = 40 $, $f # (3) = 93 $, $f # (4) = 0 $. For $ x \gt 4 $, the term $x ^ x $ is very predominant and $ f (x) $ decreases from $0 $ to $-\infty$.

Así, en el dominio entero, hay una única solución que es $n=4$. Para soluciones reales, existe otra raíz entre $0$y $1$ (de hecho $x=0.162884$).

Answer 3

También me gustaría probar el enfoque general, dibujar ambas funciones f(x) y g(x) con algunas gráfico de software (como gráfico :-) ) y, a continuación, comprobar las soluciones mediante la inserción de ellos en las ecuaciones. Si la ecuación se reescribe como el usuario @user139388 hizo,entonces usted puede ver, el único entero positivo solución es 4.

(Sé que el enfoque general es de avanzada para los estudiantes de 7º grado,pero le dice lo que otros posibles soluciones y hoy en día los niños no tienen problemas con el uso de ordenadores y de sencillos programas informáticos como gráfico, etc :-)) (debajo de la gráfica hay un re-organizar la ecuación y uno puede ver que el único ENTERO positivo solución es n=4)