Explicación de las formas diferenciales y notación

Question

Yo estoy haciendo el cálculo multivariable y me encantaría que si alguien puede arrojar algo de luz sobre las cosas que me confundan.

Cuando hicimos las integrales de funciones reales con variables reales, el $dx$ que había en cada integral en realidad no se explica. Es, básicamente, sólo había significado sintáctico. Ahora, parece que el significado semántico es lo que estoy teniendo problemas con la.

¿Qué $da$ donde $a$ es cualquier símbolo significa realmente? A veces parece que es el diferencial de funciones (si $a$ es una función), a veces es sólo un proyector a una determinada coordenada y, a veces, parece que es sólo la sintaxis y es ignorado.

Por ejemplo, cuando hicimos las integrales como $\int xdx+x^2ydy$ y miró por una de las funciones que produjo que el diferencial de la forma que hemos tratado,$xdx$, "cuando calculamos la derivada parcial de más de $x$ de la función $f$ obtenemos $x$" (que puede no ser correcta, debido a una mala traducción del inglés), pero luego, cuando nos fijamos en el "cambio en el ángulo de la forma" hemos tratado $dx$ $dy$ como algo que tenemos que calcular.

Además, ¿de dónde viene el $\partial$ símbolo entran en juego? La gente suele leer como $d$ así que me estoy preguntando cómo son esos?

Yo sé que parece que estoy haciendo muchas preguntas, pero lo que realmente me gustaría saber es intuitivo explicación de todo el concepto. Tal vez alguien más que estaba en mis zapatos antes, pero "lo consigue" ahora puede dar algunos consejos?

Answer 1

El $dx$ y tales que utilizó en el cálculo multivariable fueron , de hecho, sólo sintácticos. Que no tienen ningún significado o importancia, excepto para indicar qué variable fue la variable de integración.

Cuando se hicieron las integrales de línea, usted probablemente hizo algo como esto:

$$\int x \, dx + x^2 y \, dy = \int x \frac{dx}{dt} + x^2 y \frac{dy}{dt} \, dt = \int (x,x^2 y) \cdot \left[ \frac{dx}{dt} , \frac{dy}{dt} \right] \, dt$$

La "velocidad" del vector que fue escrito $(dx/dt, dy/dt)$ es en realidad un vector tangente a la curva, cuya longitud está determinada por la elección de un parámetro de $t$ que describe la curva. En última instancia, y especialmente en formas diferenciales, casi todas las integrales se describe de esta manera: por la elección de un cierto número de parámetros que mínimamente describir el colector de integración. Cada uno de estos a su vez genera un vector tangente, y varios de estos armar caracterizar el colector de local: una superficie tiene dos coordenadas, y esas dos coordenadas que han asociado la tangente vectores que, en conjunto, abarcan un plano de espacio vectorial.

Vas a notar aquí que el vector tangente es "actuado" por otro vector de campo en la integral. En formas diferenciales, que de otro campo vectorial en lugar de ello es visto como una forma, y las formas deben comer los vectores con el fin de reducir a los escalares.

Las integrales de diferenciales utilizando formas casi siempre uso las formas de la base de que digerir tangente vectores de la forma más limpia posible. Por ejemplo, si $r(s,t)$ describe una superficie, a continuación, $\partial r/\partial s$ $\partial r/\partial t$ son vectores de tangentes. La escritura de una forma diferenciada en términos de $\mathrm ds$ $\mathrm dt$ es conveniente porque

$$\mathrm ds(\partial r/\partial s) = 1, \quad \mathrm ds(\partial r/\partial t) = 0$$

Y de manera similar para la conmutación $t$$s$. De esta manera, usted puede tomar un diferencial de la forma escrita en términos de $\mathrm ds, \mathrm dt$ e integrarlos: que consumen la tangente vectores $\partial r/\partial s, \partial r/\partial t$ en el proceso de escritura de la integral, aniquilando uno a otro, y dejando sólo la totalidad syntatical $ds, dt$ detrás, que simplemente se refieren a las variables de integración.

Este es un punto en el que muchas personas que usan formas diferenciales confundirse acerca de. $\mathrm ds$, la base de un formulario, no debe ser confundido con $ds$, que simplemente denota una integral con respecto a $s$.

Así que cuando usted ve una integral en formas diferenciales, de hecho, hay un "abreviada": lo que aparece escrito como este...

$$\int f \, \mathrm ds \wedge \mathrm dt$$

Es realmente significa

$$\int f (\mathrm ds \wedge \mathrm dt)(\partial_s r, \partial_t r) \, ds \, dt = \int f \, ds \, dt$$

Que esto es convencional no debe ser olvidada: no hay canónica razón por la que debemos poner a $\partial_s r$ en la 2-forma primera y $\partial_t r$ en la segunda. Esto en sí mismo refleja la orientación del colector de que no siempre somos libres de elegir.