¿Alguien puede explicarme lo que es un blow-up es? Si sería genial si alguien pudiera dar una definición y algunos ejemplos. Los textos introductorios son bienvenidos también. Gracias!
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La idea básica de imágenes ampliadas en la geometría algebraica es para quitar un punto de una variedad algebraica y se sustituya por el projectivized cono tangente en ese punto. El resultado es un nuevo espacio, con un proyectiva mapa abajo a la edad, de tal manera que la fibra durante el "centro" (el punto que blow up) es un eficaz divisor de Cartier. Esto se generaliza en un par de direcciones: podemos blow-up sobre cerrado subvariedades, y la construcción se extiende también a los planes (y probablemente más general de los espacios, también).
Imágenes ampliadas satisfacer una característica universal con respecto a la sustitución del centro por un eficaz Cartier divisor (es decir, una subvariedad que es localmente definida por un único nonzerodivisor): Vamos a $Y\subseteq X$ ser una subvariedad cerrada. Una de morfismos $\pi:\widetilde X\to X$ se llama un estallido de X con el centro Y si los dos siguientes propiedades:
(a) $E:=\pi^{-1}(Y)$ es un eficaz divisor de Cartier en $\widetilde X,$
(b) $\pi$ satisface una característica universal con respecto a (a), es decir, para todos los morfismos $\tau:Z\to X$ tal que $\tau^{-1}(Y)$ es un eficaz divisor de Cartier, no hay una única morfismos $\varphi:Z\to \widetilde X$ tal que $\pi\circ\varphi=\tau.$
Imágenes ampliadas puede ser fácilmente construido en un par de maneras. Una forma es mediante el cálculo de tablas que pueden ser pegados. Por ejemplo, supongamos $X$ ser afín variedad en el campo $k$ con coordenadas anillo de $k[X],$ y deje $I=(g_1,\dots, g_l)\subseteq k[X]$ a ser un ideal de corte de la subvariedad $Y.$ Supongamos por simplicidad que $X$ es irreductible, por lo que el $k[X]$ es un dominio. A continuación, $\widetilde X$ está definido por la colección de gráficos de $U_i=\operatorname{Spec}\left(k[X][g_1/g_i,\ldots, g_l/g_i]\right),$ donde $k[X][g_1/g_i,\ldots, g_l/g_i]\subseteq k(X)$ puede ser considerado como un sub-anillo de la fracción de campo de $k[X].$
Aquí está un ejemplo sencillo. Calculamos el $\widetilde X$ donde $X=\Bbb A^2$ centro $Y=\{(0,0)\}.$ $I_Y=(x,y),$ $\widetilde X$ tiene dos gráficos: $U_x=\operatorname{Spec}(k[x,y,y/x])=\operatorname{Spec}(k[x,y/x]),$ $U_y=\operatorname{Spec}(k[x,y,x/y])=\operatorname{Spec}(k[y,x/y]).$ Que fue fácil.
Aquí hay otro ejemplo, que generaliza. Sabiendo $\widetilde X=\widetilde{\Bbb A^2}$, se puede calcular la voladura de decir $V=V(y^2-x^3)\subseteq X$ como el estricto transformar bajo el mapa de $\pi:\widetilde X\to X.$ a Lo que me refiero es que en el $x$-gráfico de $\widetilde X,$ el mapa de $\pi$ tiene una doble descripción dada por $k[x,y]\to k[x,y,y/x],x\mapsto x,y\mapsto x\cdot y/x,$ y podemos utilizar esto para obtener $\widetilde V.$ En este gráfico, la ecuación de $V$ mapas de $y^2-x^3\mapsto (x\cdot y/x)^2-x^3= x^2((y/x)^2-x).$ Diciendo que $\widetilde V$ es la estricta transformar significa que tiene una tabla definida por $(y/x)^2-x$ dentro $\Bbb A^2=\operatorname{Spec}(k[x,y/x]).$ Hay una segunda tabla, la cual se puede calcular exactamente de la misma manera.
Hay mucho, mucho más que se puede decir acerca de las imágenes ampliadas, son una técnica central en la geometría algebraica, en mi opinión. Creo que el mejor que usted puede hacer para aprender de ellos es calcular los tantos ejemplos como sea posible. Hay una gran sección en Eisenbud y Harris libro en blow-ups. Usted debe tratar de calcular cada ejemplo.
