Encontrar $ \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n^2} + \frac{2}{(n+1)^2}+\dots+\frac{n+1}{(2n)^2} $

Question

Quiero encontrar el siguiente límite: $$ \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n^2} + \frac{2}{(n+1)^2}+ \frac{3}{(n+2)^2}+\dots+\frac{n+1}{(2n)^2} $$ Supongo que converge a 0 y traté de demostrarlo utilizando el teorema del sándwich, pero no parece funcionar. Alguna idea?

Answer 1

Su límite se puede escribir como una suma de Riemann + $a_n$ donde $a_n\rightarrow 0$.

Esta es una suma de Riemann:

\begin{align} \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{(n+1)^2}+ \frac{2}{(n+2)^2}+\dots+\frac{n}{(2n)^2}&=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left ( \frac{1/n}{(1+1/n)^2}+ \frac{2/n}{(1+2/n)^2}+\dots+\frac{n/n}{(1+n/n)^2}\right)\\ &=\int_{0}^1 \frac{x}{(1+x)^2} \text{d}x \\ &=\int_{0}^1 \frac{x+1}{(1+x)^2} \text{d}x -\int_{0}^1 \frac{1}{(1+x)^2} \text{d}x\\ &=\int_{0}^1 \frac{1}{1+x} \text{d}x -\int_{0}^1 \frac{1}{(1+x)^2} \text{d}x \end{align}

Ahora, \begin{align}a_n&=\frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2}+ \frac{1}{(n+2)^2}+\dots+\frac{1}{(2n)^2} \\ &\leq \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^2}+ \frac{1}{n^2}+\dots+\frac{1}{n^2}\\ &=(n+1)\frac{1}{n^2}\rightarrow 0 \end{align}

Answer 2

Tenga en cuenta que

$$\frac{1}{n^2} + \frac{2}{(n+1)^2}+ \frac{3}{(n+2)^2}+\dots+\frac{n+1}{(2n)^2}=\sum_{k=n}^{2n}\frac{k-n+1}{k^2} =\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k}-(n-1)\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k^2}\sim \log \left(\frac{2n}{n-1}\right)-\frac{n+1}{2n}\a\log 2-\frac12$$

de hecho, para la serie Armónica y de Euler–Maclaurin fórmula

$$\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k}=\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}\sim\log2n-\log (2n-1)=\log \left(\frac{2n}{n-1}\right)$$

$$\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k^2}=\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{k^2}-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k^2}\sim -\frac1{2n}+\frac{1}{n-1}=\frac{n+1}{2n(n-1)}$$