¿Por qué es $\lim_{x \to +\infty}\log x = +\infty$ si $\mathrm{d}/\mathrm{d}x (\log x) = 1/x$?

Question

¿Por qué es $\lim_{x \to +\infty} \log(x) = +\infty$? Yo habría esperado que el valor de este límite es un número fijo, ya que

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \log x = \frac1x$$

y

$$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac1x = 0,$$ de modo que la tangente de $\log(x)$ enfoques $0$ si $x$ es lo suficientemente grande.

¿Cómo puedo probar que el límite de $\log x$ es de hecho infinito?

Answer 1

(1) La falacia en el argumento heurístico: sólo porque algo está creciendo poco a poco, no significa no ser arbitrariamente grande. El $\log$ función es extremadamente lento crecimiento (y la que crece más lento y más lento a medida $x$ hace más y más grande, es decir, su segunda derivada es negativa), sino que, de hecho, su límite es infinito.

(2) Para mostrar que el límite es el infinito, solo debe mostrar que usted puede hacer la función tan grande como se desee tomando $x$ lo suficientemente grande. Más formalmente, se debe mostrar que para cualquier destino $N$, existe un $x_0$ tal que $\log(x) > x_0$ siempre $x > N$.

Ahora $\log(x)$ es una función creciente (que ya sabe, porque usted calcula su derivada, lo cual es positivo), lo que significa que cada vez que $x > e^N$ ,$\log(x) > N$, debido a $\log(e^N) = N$, por definición. (Supongo que te refieres a la base de $e$ logaritmo debido a la derivada calculada en tu pregunta, pero si usted quiere alguna otra base, por supuesto, puesto que dondequiera que usted vea un $e$.) Esto es suficiente para concluir.

Answer 2

El uso de la FTC y $\log' x = \frac1x$ Se puede ver que $$\lim_{x\to\infty} \log x = \lim_{x\to\infty} \int_1^x \frac1t\ \mathrm dt \ge \lim_{x\to\infty} \sum_{k=2}^{\lfloor x\rfloor} \frac1k = \infty$$ Debido a que la serie armónica diverge.

El último paso se utiliza el hecho de que $\frac1t$ es monótonamente decreciente en $(0,\infty)$$\int_n^{n+1} \frac1t \ \mathrm dt \ge \frac1{n+1}$$\frac 1t > 0$, por lo que $$\int_1^x \frac1t \ \mathrm dt \ge \int_1^{\lfloor x \rfloor} \frac1t\ \mathrm dt$$

Answer 3

Tomar cualquier positivos $\;M\in\Bbb R^+\;$ , entonces a partir de la $\;\log x\;$ es monótona creciente y ya sabemos lo que su función inversa es:

$$\log x>M\iff x>e^M$$

Answer 4

La derivada de ir a 0 indica que la tasa de cambio es constante desaceleración hacia 0, pero todavía sigue subiendo "suficientemente rápido" para finalmente golpear cualquier número. Recuerde, $\log x=y$$e^y =x$. Así que, si me das el número que usted desea golpear en el positivo de reales en el rango de los logaritmos, $y$, todo lo que necesitas hacer es conectar en $e^y$. Por lo tanto, todos los números reales están en el rango, por lo que su ilimitado (especialmente ya que es cada vez mayor)

Answer 5

Al $x\to +\infty$ podemos hacer $x\ge e^K$ para cualquier $K\in \mathbb{R}^+.$ $$x\ge e^K\iff\ln x\ge K,\,\,\,\,\,\forall K\in \mathbb{R}^+$$