No podemos escribir esta función

Question

Soy un nuevo usuario de modo que si mi pregunta es inapropiado, por favor deje un comentario (o editar tal vez).

Si aceptamos el axioma de elección, podemos encontrar una función de elección para $\mathbb{R} / \mathbb{Q} $ , esto es obvio. Pero no podemos encontrar una función de "con la mano y creo que debería probar que no. Mi pregunta es ¿cómo podemos demostrar tal cosa o ¿cómo podemos definir la "escribir con la mano"? Esta pregunta podría ser generalizada, pero ya no estoy tan seguro de ello, voy atrapado en ese ejemplo.

Creo que mi trabajo para esta pregunta es innecesaria, pero creo que debo compartir algo de él.

Primero de todo:

$ZFC$ $\Rightarrow$ Cada $\alpha \in \mathbb{R} / \mathbb{Q} = \{ r + \mathbb{Q}: r \in \mathbb{R} \} $ existe un conjunto $X \subset \mathbb{R}$ tal que $|\alpha \cap X| = 1 $

Traté de enfoque a la pregunta de tal manera, pero entonces yo creía que la prueba o explicación debe estar en el meta-matemáticas. Podemos acercarnos a este por el supuesto de que podemos encontrar una función en $ZF\neg C$ y demostrar que somos el papa. Pero no estoy satisfecho con esta estrategia.

La mayoría conste y probables estrategia que pensé es tratar de mostrar que si queremos escribir esta función con la mano (y no con la tecnología como el axioma de elección) debemos utilizar una infinidad de personajes.

Gracias por la ayuda y por favor tenga en mente que no puedo entender de alto nivel explicaciones.

Answer 1

Cuando tenemos una declaración que "Hay un objeto con la propiedad $\varphi$". A menudo podemos comprobar esta afirmación utilizando el axioma de elección. Cuando decimos que "no podemos escribir una definición de dicho objeto con la mano" a menudo nos quiere decir que no podemos probar la existencia de este objeto sin un cierto atractivo para el axioma de elección. Sí, esto es bastante informal y mal definido, pero también lo son "a mano" y "de forma explícita".

Hay dos métodos comunes para mostrar algo como esto:

1. La reducción a otro problema. Hemos de probar que dado tal objeto, se puede generar otro objeto, que podemos suponer que no existe sin alguna opción. Por ejemplo, un no-medibles conjunto. Otro ejemplo es el de un lineal de orden de $\Bbb{R/Q}$.

   El problema con este enfoque es que se basa en el conocimiento previo, y la más extensa de su conocimiento de la elección de los principios es, más fácil o más difícil que se puede conseguir.

2. Presentan un modelo. Sabemos por el teorema de completitud que $\sf ZF$ puede demostrar que un enunciado si y sólo si es verdadera en todos sus modelos. Ya sabemos que en los modelos de $\sf ZFC$ la afirmación es verdadera, así que ahora tenemos que comprobar y ver lo que sucede en los modelos donde el axioma de elección se produce un error. Lo que tienes que hacer aquí es construir un modelo de $\sf ZF$ donde nuestra declaración de la falla. Por supuesto, esto implica que el axioma de elección debe fallar en el modelo (o de lo $\sf ZF$ era incompatible, para empezar).

   Nota que el hecho de que el axioma de elección no es necesariamente equivalente a la insuficiencia de nuestra declaración. Es un subproducto de su fracaso. Puesto que la sentencia es una consecuencia del axioma de elección, el fracaso de la elección es una consecuencia de la insuficiencia de nuestra declaración.

   Este método es difícil. A menudo se emplea avanzado conjunto de métodos teóricos como obligar. Es, sin embargo, es importante entender por qué este método funciona en todos.

En el caso de la afirmación "existe una función de elección de $\Bbb{R/Q}$" podemos depender de la construcción de Solovay, o de otros, lo que demuestra que hay modelos en los que la medida de Lebesgue tiene propiedades que son compatibles con dicha función de elección.

O usted puede intentar la construcción de un modelo de sí mismo.

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También relacionado con:

• ¿Cómo sabemos que tenemos el axioma de elección para algunos teorema?

Answer 2

Uno puede mostrar que esa función no se encuentra, no sólo en ZF pero incluso en ZF+(contables elección), de la siguiente manera.

Por simplicidad, vamos a hablar de un problema muy estrechamente relacionado con donde el espacio no es $\mathbb{R}$ sino el círculo de $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$. Un enfoque que inmediatamente viene a la mente es el uso de los resultados de la siguiente ponencia:

Solovay, R. Un modelo de la teoría en la que cada conjunto de los reales es Lebesgue medible. Anales de las Matemáticas (2) 92 (1970), 1--56.

Si había una manera de especificar un conjunto de $X$ sin incontable elección, en Solovay del modelo sería medible y, a continuación, obtener una contradicción al considerar dos casos: (a) si la medida de $X$ es cero, entonces se podría utilizar contables aditividad de la medida de Lebesgue (que es la continuación de contable dependiente de la elección) para demostrar que la medida de la circunferencia es igual a cero; (b) si la medida de $X$ es distinto de cero, entonces la medida del círculo sería infinito. En cualquier caso, uno llega a una contradicción, lo que permite a uno a la conclusión de que tal sistema no existe.

Answer 3

Una posible noción en la teoría de conjuntos que pudieran corresponder a su "escritura a mano" es el del ordinal conjuntos definibles. Pero entonces, la existencia de ordinal definibles función de elección de $\mathbb{R} / \mathbb{Q} $ es independiente de más de $ZFC$. Para una escuela primaria de la exposición a esta noción de inicio con Levy "Básicos de la teoría de conjuntos" y, a continuación, tal vez mirar Jech, Kanamori, o mejor aún, papeles originales de Solovay y Sela.

Aquí están las referencias:

Solovay, Robert M. (1970), "Un modelo de la teoría en la que cada conjunto de los reales es Lebesgue medible", Anales de las Matemáticas. Segundo De La Serie 92: 1-56

Sela, Saharon (1984), "Puede usted tomar Solovay inaccesible?", Israel Diario de Matemáticas 48 (1): de 1 a 47