Se da la siguiente curva algebraica:
$$ZY^2=X^3+3XZ$$
Quiero encontrar el grupo de puntos racionales de orden finito $E(\mathbb{Q})_{\text{torsion}}$ y para determinar si $E(\mathbb{Q})$ es finito o infinito.
Pensé que la curva correspondiente en afín coordenadas es: $Y^2=X^3+3X$$a=3, b=0$.
Me encontré con que $E(\mathbb{Q})_{\text{torsion}}=\{ (0,0), [0,1,0]\}$.
A continuación, para determinar si $E(\mathbb{Q})$ es finito o no, hice lo siguiente:
$$E|_{\overline{Q}}: Y^2=X^3-6X$$
$$2^r=\frac{|a \Gamma| |\overline{a} \overline{\Gamma}|}{4}$$
donde $r$ es el rango de la curva.
$a \Gamma=\{ 1 \mathbb{Q}^{{\star}^2}, b \mathbb{Q}^{{\star}^2} \} \cup \{ b_1 \mathbb{Q}^{{{\star}^2}} | b_1 \mid b \text{ and the diophantine equation } Z^2=b_1X^4+aXY+b_2Y^4 \text{ has a solution}\} $
En nuestro caso $b=0$ y por lo tanto el conjunto de $\{ b_1 \mathbb{Q}^{{{\star}^2}} | b_1 \mid b \text{ and the diophantine equation } Z^2=b_1X^4+aXY+b_2Y^4 \text{ has a solution}\} $ es infinito, por lo que podemos deducir que $E(\mathbb{Q})$ es infinito.
Podría usted decirme si es correcto?
