El número de isomorphisms de $\mathbb{Z}_{12}$ a sí mismo es de 4.

Question

En un problema en el que estoy trabajando, me pide que busque el número de isomorphisms de $\mathbb{Z}_{12}$ a sí mismo con el hecho de que si $x$ genera un grupo de $G$ $\phi$ es un isomorfismo de $G$ a sí mismo, a continuación,$\langle \phi(x) \rangle=G$.

Sé que $1,5,7,$ $ 11$ generar $G$ individualmente. Así que supongo que yo tengo que contar el número de bijections en un conjunto de 4 elementos o, desde $\langle \phi(1) \rangle=G$$\phi(k)=\phi(1)^{k\ mod 12}$, contar el número de posibles formas de mapa 1 para el conjunto que contiene a$1,5,7,$$ 11$.

Mi idea inicial es que desde $\phi(1)$ determina completamente todo este espacio sólo tenemos que contar el número de posibles asignaciones para $1$. Si $\phi$, por ejemplo, asigna 1 a 5 y de 11 a 7, $\phi$ no necesita ser bien definido, derecho?

Answer 1

Sugerencia - cola juntos algunas cosas que usted sabe:

• Es verdad que el $\phi(1)$ determina todo el resto de $\phi$.

• Usted parece saber a los posibles valores de $\phi(1)$.

Answer 2

Supongamos $\phi$ es un automorphism del grupo. Entonces podemos pasar a través de los posibles valores de $\phi(1)$ y ver qué pasa.

En particular, si usted hace esto y el uso de la suposición de que $\phi$ es un isomorfismo, entonces verás que si $\phi(1)\not\in\{1,5,7,11\}$, entonces llegamos a una contradicción: En tal caso, $\phi$ no va a ser un isomorfismo. Por ejemplo, si $\phi(1)=2$$6\phi(1)=0$, contradiciendo los hechos que el orden del grupo es $12$ y, si $\phi$ es un isomorfismo, entonces $\langle \phi(1)\rangle=\mathbb{Z}_{12}$.

Por otro lado, podemos definir explícitamente los automorfismos con $\phi(1)\in\{1,5,7,11\}$ y, además, se puede demostrar que el isomorfismo que hemos definido con, digamos, $1\mapsto1$ es la única posible.

Ya que esto agota todas las posibilidades, que se hacen: Estos cuatro automorfismos son los únicos posibles.

Answer 3

Podría ser más fácil para romper el problema en dos problemas más simples: $$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \approx \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}.$$ Por lo tanto, la determinación de los independientes de automorfismos de a $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ le permite a uno a la cola para encontrar los automorfismos de a $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$. Para $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, uno puede ver que las posibilidades son $\varphi(1) = 1$$\varphi(1) = 2$. Para $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$, las posibilidades son $\varphi(1) = 1$$\varphi(1) = 3$. Puesto que hay dos automorfismos para cada una de las $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$, estos pueden ser pegados a obtener cuatro automorfismos de a $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$.

Answer 4

Un automorphism se define por la imagen de $1$, y se tiene que asignar a $1$ en un generador del grupo. Es conocido que los generadores de $\mathbf Z/n\mathbf Z$ el (clases de congruencias) números naturales entre el $0$ $n$ cuales son coprime a $n$. Hay $\varphi(n)$ (el totient función) de ellos.

Ahora $\varphi(12)=\varphi(3)\varphi(4)=2\cdot 2$. Explícitamente: $$\{1,5, 7,11\}.$$