La exudación de la miel a través de tuberías
La solución a continuación es para una muy fluido viscoso que ha insignificante de inercia y de gran viscosidad. Es incorrecto agua en el real tuberías, porque prescinde de la caída de presión que viene con el cambio de velocidad del agua. Este término es de orden superior en v, pero es obviamente relevante para la verdadera agua de la gaita. Lo dejo, porque es un ejercicio interesante con una analogía directa con el impermeable al flujo de corriente, la solución correcta es el final.
La manera de hacer esto es tener en cuenta que la presión en el punto de divergencia es igual para todos 4 los tubos, y que hay una ley determinada para la caída de presión a lo largo de una tubería por unidad de longitud en cualquier un determinado caudal. La respuesta es diferente dependiendo de si usted tiene una presión fija forzar el agua a través de las tuberías (como se hace en el agua del sistema principal) o si te están obligando a un volumen determinado de agua a través de y por unidad de tiempo, como usted sugiere, y que es apropiado
cuando usted tiene una gran caída de presión a lo largo de una muy larga tubería antes de llegar a su divisor.
Voy a suponer que el 4 tubos tienen una longitud dada, y que se vacía en la presión atmosférica, que voy a calificar como 0, y que el flujo de agua es suficiente para mantener las tuberías de llenado hasta cerca del punto de salida, de lo contrario el problema requiere más información. Considerar la fija la tasa de flujo de problema en primer lugar. Si el impuesto de la tasa de flujo es F unidades de agua por segundo, la primera ecuación es la ecuación de conservación de la masa
$$\sum_i f_i = F $$
Donde $f_i$ son las tasas de flujo a lo largo de las tuberías. Phill.Zitt dio esta fórmula, pero no es suficiente--- es análoga a la actual Ley de Kirchhoff. Usted también necesita el analógica de voltaje de Kirchhoff ley.
El voltaje de la ley dice que la tasa de flujo de $f_i$ es proporcional a la caída de presión a lo largo de la tubería yo. Voy a llamar a la constante de proporcionalidad el "flujo de la conductancia" $C_i$ (es el análogo de la inversa de la resistencia en un circuito eléctrico):
$$ f_i = C_i \Delta P $$
Para los cuatro tubos, $\Delta P$ es igual, así que
$$ f_i \propto C_i $$
y junto con la suma de la regla, te vas a encontrar:
$$ f_i = {C_i f \over \sum_i C_i } $$
Así que la única cosa que usted necesita saber son las $C_i$, al igual que en una red de resistores.
Dos tubos con flujo de conductancias $C_1,C_2$ conectados en serie tiene un flujo de conductancia C dado por la fórmula:
$$ {1\over C} = {1\over C_1} + {1\over C_2}$$
Para los dos tuberías en paralelo,
$$ C = C_1 + C_2 $$
De modo que las conductancias de añadir en serie y en paralelo como el recíproco de la resistencia (la conductancia eléctrica) en los circuitos. Usted tiene un problema de 4 paralelo de resistores conectados en serie a un resistor de entrada, como un resistor conectado a 4 resistencias en paralelo.
Para un tubo cilíndrico de longitud L y radio R, el flujo laminar el perfil es exactamente parabólico en la radial de coordenadas cilíndrico r:
$$ v(r) = V(1 - {r^2\over R^2}) $$
de modo que el flujo total como una función de R es
$$ f(R) = \int_0^R v(r) 2\pi r dr = {\pi V R^2\over 2}$$
El Navier stokes las ecuaciones se reducen a algo muy simple en el laminar el flujo de la tubería caso \begin{align}
\log L &= \log\left(\lim_{x \to 0}(1 + x\sin (\pi - x))^{1/x}\right)\notag\\
&= \lim_{x \to 0}\log(1 + x\sin (\pi - x))^{1/x}\text{ (via continuity of log)}\notag\\
&= \lim_{x \to 0}\frac{\log(1 + x\sin x)}{x}\notag\\
&= \lim_{x \to 0}\sin x \cdot\frac{\log(1 + x\sin x)}{x\sin x}\notag\\
&= 0 \cdot 1 = 0\notag
\endtodos los términos de deserción, excepto la viscosidad plazo, que indica la difusión de impulso de la tubería, y por lo que la caída de presión por unidad de longitud. (vea aquí: ¿existe una solución analítica para el flujo de fluido en una plaza de conducto? )
La ecuación es
$$ \nu \nabla^2 v = \delta P $$
así que
$$ 2\nu {V\over R^2} = {\Delta P \over L} $$
Esto le da la tasa de flujo como función de R y L,
$$ f = {\pi V R^2 \over 4} = {\pi R^4\over 8\nu L} \Delta P$$
de modo que la conductancia es
$$ C(R,L) = {\pi R^4 \over 8 \nu L} $$
Y esto determina el flujo a través de la i-esima de la tubería en términos del total del flujo y la geometría:
$$ f_i = {f {R_i^4\over L_i} \over \sum_k {R_k^4\over L_k}} $$
Esto resuelve el flujo constante de la tasa de problema puramente geométrica.
El límite de caudal constante se logra cuando hay un largo tubo de alimentación en el conjunto de la cosa con un mucho mayor caída de presión que la caída de presión después de la división. El flujo total es determinado por el total de la conductancia, que es esencialmente igual a la de la conductancia de la tubería, así que no importa lo que usted adjunte al final, tan larga como la parte al final tiene mucho más de la conductancia de la inicial de la tubería.
El mismo problema puede ser resuelto en un fijo de la presión en el punto de divergencia, el flujo de salida es sólo la conductancia de los tiempos compartidos de presión. Para la pregunta 2, el tema de la constante presión o caudal constante es esencial. A presión constante, si conecta el aparato al lado de una amplia principal de agua a alta presión, cierre de un tubo no hace nada para el flujo en los otros tubos. En flujo constante, de cierre de la tubería número 4 aumenta el flujo a través de los otros 3 por el factor de
$$ C_1 + C_2 + C_3 + C_4 \over C_1 + C_2 + C_3 $$
Para los no-tubos rígidos, usted sólo necesita saber la R como una función de la presión. Esta será una buena aproximación si las caídas de presión son lentos en la tubería como de costumbre, de modo que el radio de cambiar poco a poco con la longitud. En condiciones normales de tuberías, la radio no cambia casi en todo con la presión, así que no me molesta para calcular cualquier cosa, pero usted puede dividir el tubo en rodajas con un radio R(P), dando una conductancia, que se agrega de acuerdo a la serie de la regla.
De agua en las tuberías
Voy a suponer que el flujo es laminar en tuberías, pero que los tubos son cortos, por lo que la caída de presión debido a la viscosidad es despreciable entre los dos extremos. Este es el límite correcto de las tuberías de agua. La presión que hace el trabajo en el agua, que no se disipa de manera significativa en los tubos, y sale en forma de energía cinética en el agua, no en forma de calor en la tubería.
Dada una caída de presión de P a la presión atmosférica 0, el agua en cada uno de los cuatro tubos se ajuste de la velocidad, de modo que el principio de Bernoulli es obedecido--- el trabajo realizado por la presión es la energía ganada por el agua. El flujo de energía en una sección transversal de la tubería es:
$$ \int {\rho v(r)^2\over 2}v(r) 2\pi r dr $$
con el perfil laminar (el flujo de f es como antes), y esto da
$$ f {\rho V^2\over 4} $$
Donde V es la velocidad en el centro, como antes. El trabajo realizado por la diferencia de presión en los dos extremos es $Pf$, por lo que obtener una versión de Bernoulli la ecuación para flujo laminar tuberías:
$$ P + {\rho V^2\over 4} = {\rho V_0^2\over 2}$$
La velocidad en la tubería, a continuación,
$$ V= \sqrt{{4P\over \rho} + {V_0^2\over 2}} $$
y ellos son iguales. De modo que la velocidad del flujo dentro de este límite (el derecho límite para el agua) es proprotional a la cruz del área de la sección de la tubería, para R^2. Si usted tiene un fijo de la tasa de flujo, la presión aumenta hasta el punto donde el total de salida es igual a la entrada, y el flujo de agua es particiones de acuerdo a la sección transversal de la zona:
$$ f_i = {f R_i^2\over \sum_k R_k^2 }$$
Este descuida la velocidad de entrada $V_0$, suponiendo que el agua que sale es significativamente más rápido que el agua que entra. La respuesta para la 2 y 3 no se cambia en el caso de agua en comparación con la miel.
