Cómo resolver el límite para poder tiende a infinito

Question

¿Cómo hace uno para encontrar $$ \lim_{x \to 0} \left[1 + x\sin(\pi - x) \right)^{1/x}\ ? $$

¿El límite de existir? Si sí, ¿cómo se encuentra?

Answer 1

sugerencia

$$f (x)=e^{\frac {1}{x}\ln (1+x\sin (x))}$$

pero $$\ln (1+x\sin (x))\sim x^2 \;\;(x\to 0)$$

por tanto, su límite es $e^0=1$.

o

$$f (x)=e^{ \sin (x)\frac {\ln (1+x\sin (x))}{x\sin (x)}}$$

y $$\lim_{X\to 0}\frac { \ln (1+X) }{ X}=1$$

Answer 2

$$ \begin{aligned} \lim _{x\to 0}\left(1+x\sin \left(\pi-x\right)\right)^{\frac{1}{x}} & = \lim _{x\to 0}\space\exp\left(\frac{\ln\left(1+x\sin \left(\pi-x\right)\right)}{x}\right) \\& = \lim _{x\to 0}\space \exp\left(\frac{x^2-\frac{x^4}{6}+o\left(x^4\right)}{x}\right) \\& = \exp(0) = \color{red}{1} \end{aligned} $$ Resuelto con la expansión de Taylor

Answer 3

Como Salahamam_Fatima respondió, utilizando los equivalentes hace que el problema del límite bastante simple.

Usted podría incluso ir más allá y ver cómo se acercó al límite $$A=\left[1 + x\sin(\pi - x) \right]^{1/x}=\left[1 + x\sin( x) \right]^{1/x}$$ Take logarithms $$\log(A)=\frac 1x \log\left[1 + x\sin( x) \right]$$ Now, use Taylor expansion $$\sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+O\left(x^5\right)$$ $$\log(A)=\frac 1x \log\left[1+x^2-\frac{x^4}{6}+O\left(x^5\right) \right]$$ Now, use the expansion of $\log(1+t)$ and replace $t$ by $x^2-\frac{x^4}{6}+\cdots$ to get $$\log(A)=\frac 1x\left[x^2-\frac{2 x^4}{3}+O\left(x^5\right)\right]=x-\frac{2 x^3}{3}+O\left(x^4\right)$$ Now, Taylor again since $$A=e^{\log(A)}=1+x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{2}+O\left(x^4\right)$$ que, por cierto, muestra el límite y cómo abordarla.

Sólo por curiosidad, parcela en la misma gráfica de la función original y por encima de la aproximación. Probablemente, usted se sorprenderá al ver lo cerca que está a $x=\frac 12$.

Para la diversión, utilizando su calculadora de bolsillo, calcular el valor de $A$ al $x=\frac \pi 6$. El valor exacto sería $$A=\left(1+\frac{\pi }{12}\right)^{6/\pi }\approx 1.5591$$ while the approximation would give $$A=1+\frac{\pi }{6}+\frac{\pi ^2}{72}-\frac{\pi ^3}{432}+\cdots \approx 1.5889$$

Para finalizar, supongamos que usted necesita para resolver de forma rigurosa por $x$ la ecuación $$\left[1 + x\sin(\pi - x) \right]^{1/x}=\frac 32$$ and that the numerical method (Newton for example) requires a "reasonable" guess, ignore the cubic term and solve the quadratic $$1+x+\frac{x^2}{2}=\frac 32\implies x=\sqrt 2-1\approx 0.4142$$ while the exact solution would be $\aprox 0.4622$. Newton recorre entonces sería

$$\left( \begin{array}{cc} n & x_n \\ 0 & 0.414214 \\ 1 & 0.461216 \\ 2 & 0.462236 \\ 3 & 0.462236 \end{array} \right)$$

Answer 4

La respuesta a la pregunta más general "¿Cómo vamos a encontrar a $\lim_{x \to a}\{f(x)\}^{g(x)}$?" es que tomamos logaritmos. Por lo tanto si $L$ es el límite deseado, a continuación, \begin{align} \log L &= \log\left(\lim_{x \to 0}(1 + x\sin (\pi - x))^{1/x}\right)\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\log(1 + x\sin (\pi - x))^{1/x}\text{ (via continuity of log)}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\log(1 + x\sin x)}{x}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\sin x \cdot\frac{\log(1 + x\sin x)}{x\sin x}\notag\\ &= 0 \cdot 1 = 0\notag \end{align} y, por tanto,$L = 1$.