¿Secuencias de enteros que rápidamente se convierten en inimaginablemente grandes, luego encoger hasta el tamaño "normal" otra vez?

Question

Hay un número de secuencias de enteros que se sabe que tienen un par de "ordinario" los valores de tamaño, y luego de repente crecen en increíblemente rápido de las tasas. La secuencia de ÁRBOL es una de estas secuencias, que comienza "1 de 3" y, a continuación, crece a un inimaginablemente grande valor que eclipsa incluso cosas como Graham Número. Otro ejemplo está dado por la secuencia de Ackermann números, que también tiene un gran tercer mandato, aunque no tan grande como el de ÁRBOL(3).

Estoy interesado en una variante de la anterior concepto: secuencias de enteros que parecen empezar normalmente, tienen uno o pocos valores que luego se convierte en la mente bogglingly grande, y, a continuación, que acaba de volver a "ordinaria del tamaño de" valores para el resto de la secuencia. ¿Alguien sabe de que cosas como esta que surgen "de forma natural", tal vez en el contexto de la teoría de grafos o combinatoria o algo similar?

Obviamente uno puede construir secuencias que se ajustan a este patrón por el empalme de las cosas juntas, pero estoy más interesado en el caso de que este comportamiento de alguna manera se produce en una especie de natural entero de la secuencia.

Answer 1

Secuencias de Goodstein proporcionan un buen ejemplo.

Answer 2

Tome la secuencia donde el $n$th término $g(n)$ está dada por el número de grupos de orden $n$. Empezamos:\begin{align*} g(1) &= 1\\ g(2) &= 1\\ g(3) &= 1\\ g(4) &= 2\\ &\vdots\\ g(14) &= 2\\ g(15) &= 1\\ g(16) &= \bf{14}\\ g(17) &= 1\\ &\vdots\\ g(30) &= 4\\ g(31) &= 1\\ g(32) &= \bf{51}\\ g(33) &= 1\\ &\vdots\\ g(1020) &= 37\\ g(1021) &= 1\\ g(1022) &= 4\\ g(1023) &= 2\\ g(1024) &= \bf{49487365422}\\ g(1025) &= 4\\ &\vdots \end{align*} grupos encantan tener orden de una potencia de $2$! Una tabla más completa puede encontrarse aquí.

Answer 3

La continuación de la fracción de expansión de $\pi$ comienza: $3+\frac{1}{7+\frac{1}{15+\frac{1}{1+\frac{1}{292+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ldots}}}}}}$.

En forma condensada y con más dígitos: $\pi = [3: 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, \ldots]$. El $292$ es la más interesante elemento de la secuencia, y corresponde a la siguiente buena aproximación racional de $\pi \approx \frac{355}{113}$, proviene de truncar la continuación de la fracción en $15+1$, justo antes de la $292$. Gracias a Gerry Myerson a señalar mi error aquí.

¿Esta secuencia de responder a su pregunta? Tal vez. Hay un teorema de análisis real de uso de las ideas de ergodic teoría de que los estados, para casi cada número real $x \in \mathbb R$, el número natural $n$ aparece en la continuación de la fracción de expansión de $x$ con una frecuencia $log_{2} \left ( \frac{(n+1)^{2}}{n(n+2)} \right )$.

Esta cantidad va claramente a cero como $n$ crece. Sin embargo, puedo estar equivocado, pero no creo que las fuerzas de la secuencia para ir a cero, pero ciertamente no se vaya al infinito.

El demostrar este hecho, considere la posibilidad de Gauss medida $\nu (E) = \frac{1}{log(2)} \int_{0}^{1} \frac{1}{1+t} dt$,$([0,1]\setminus \mathbb Q)$. También considere la posibilidad de la transformación de $U(x)= \{\frac{1}{x}\}$ donde $\{\}$ denota la parte fraccionaria. Esta transformación es ergodic, y a partir de aquí demostrando el teorema es una aplicación directa de la ergodic teorema.