¿Es esta una forma válida de mostrar que la secuencia recursiva $x_n = x_{n-1} + \frac{1}{x_{n-1}^2}$ no tiene límite?

Question

Estoy trabajando a través de algunos libros de análisis por mi cuenta, así que no quiero la respuesta completa. Solo estoy buscando una pista en este problema.

El Introducción al Análisis de Rosenlicht me pide probar que $x_n = x_{n-1} + \frac{1}{x_{n-1}^2}$, donde $x_1 = 1$, es ilimitado. No estoy seguro de cómo abordar esto, pero aquí está lo que intenté.

Para ahorrar tiempo, dejo que $b := x_n$ y $a := x_{n-1}$.

Dado que $b > a > 1$ cuando $n \to \infty$, sabemos que

\begin{align} b &> a \\ e^{\ln b} &> e^{\ln a} \\ \frac{e^{\ln b}}{e^{\ln a}} &> 1 \\ e^{\ln b - \ln a} &> 1 \end{align}

pero no estoy seguro de cómo seguir desde aquí, o si esta es incluso la dirección correcta. Estoy tratando de demostrar que $b - a > \ln b - \ln a$, porque entonces puedo decir que la secuencia siempre está creciendo más rápido que la función logarítmica, que sé que es ilimitada.

Para mostrar que $b - a > \ln b - \ln a$, intenté una demostración por contradicción. Si $b - a \le \ln b - \ln a$, entonces $e^{b-a} \le e^ {\ln b - \ln a}$. Así que $\frac{e^b}{e^a} \le \frac{e^{\ln b}}{e^{\ln a}} = \frac{b}{a}$, y una vez más no estoy seguro de cómo proceder.

Sé que para mostrar que algo está acotado, necesito demostrar que $\exists M > 0$ tal que $x_n < M, \forall n$. Sé cómo hacerlo con secuencias no recursivas, por ejemplo $x_n = f(n), n \in \mathbb{N}$ porque es solo álgebra, pero no estoy seguro de cómo abordar esto con una secuencia recursiva (uno que no logré expresar en términos no recursivos).

Answer 1

Pista #1: La secuencia es monótona creciente. Si estuviera acotada, tendría un límite. ¿Qué propiedad cumpliría ese límite?

Pista #2: Ese límite cumpliría $$L=L+\frac{1}{L^2}$$

Sin embargo, ningún $L$ satisface esta ecuación.

Answer 2

Supongamos que $\{x_n\}$ es una sucesión acotada, es decir, $0

$x_n = (x_n-x_{n-1})+(x_{n-1}-x_{n-2})+\cdots +(x_2-x_1)+x_1 = \dfrac{1}{x_{n-1}^2}+\dfrac{1}{x_{n-2}^2}+ \cdots +\dfrac{1}{x_1^2}>\dfrac{1}{M^2}+\dfrac{1}{M^2}+\cdots +\dfrac{1}{M^2}=\dfrac{n-1}{M^2}$. Si seleccionamos $n$ de manera que $n > M^3+1$, entonces $x_n > M$, lo que muestra que $\{x_n\}$ no está acotada.

Answer 3

Nuevo para mí. Nota que ocurre lo mismo si estamos agregando algo realmente pequeño, por ejemplo $$ y_{n+1} = y_n + \frac{1}{e^{y_n}}; $$ solo que toma mucho más tiempo pasar por cualquier punto dado.

Por lo tanto, quería enfatizar que, decimos la sucesión es ilimitada, ¿cuánto tiempo se tarda en llegar a puntos específicos? Este es el ejemplo original, $$ x_{n+1} = x_n + \frac{1}{x_n^2}. $$

Supongamos que se tarda un paso en llevarnos a $x_1 = 1.$

¿Cuánto tiempo permanece con $1 \leq x_n \leq 2?$ Estamos agregando al menos $1/4$ cada vez, por lo que alcanzamos o superamos $2$ en cuatro pasos.

¿Cuánto tiempo permanece con $2 \leq x_n \leq 3?$ Estamos agregando al menos $1/9$ cada vez, por lo que alcanzamos o superamos $3$ en otros nueve pasos.

¿Cuánto tiempo permanece con $3 \leq x_n \leq 4?$ Estamos agregando al menos $1/16$ cada vez, por lo que alcanzamos o superamos $4$ en otros dieciséis pasos.

Por lo tanto, estamos garantizados de alcanzar algún entero positivo $M$ dentro de $$ 1 + 4 + 9 + 16 + \cdots + M^2 = \frac{1}{6} M (M+1)(2M+1) $$ pasos. Espero haber recordado la suma correctamente.

El mismo tipo de argumento funciona para los $y_n$ que mencioné anteriormente, pero en lugar de agregar los enteros al cuadrado cada vez agregamos $e^w$ para $w-1 \leq y_n \leq w,$ por lo que la suma para llegar a algún $M$ es bastante grande, una suma geométrica finita que se puede calcular.

Rosenlicht era un buen tipo. Mi amigo Dmitry fue su estudiante. Creo que, después de su jubilación, Rosy fue a enseñar por algunos años en Kenia. Dmitry dice también Costa de Marfil.

Answer 4

Es sencillo demostrar por inducción que la secuencia es estrictamente positiva y estrictamente creciente. Por lo tanto, la secuencia converge si y solo si está acotada por encima. Supongamos que existe $M$ tal que $x_n\frac1M$ por lo que $\frac1{x_{n-1}^2}>\frac1{M^2}$. Pero esto implica que $x_n-x_{n-1}=\frac1{x_{n-1}^2}>\frac1{M^2}$ para todo $n$, por lo que $\{x_n\}$ no puede converger (toma $\varepsilon <\frac1{M^2}$). Esto es una contradicción, por lo que concluimos que $\{x_n\}$ no está acotada.