Estoy tratando de encontrar el siguiente límite $$\lim \limits_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{(e^x-1)(e^y-1)}{x+y}$$ He intentado aproximarse a lo largo de las líneas de $y = -x + mx^2$ pero me estoy poniendo un cero en lugar de un valor que depende de la $m$
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Oli
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Permítanos calcular, con su sugirió $y=x^2-x$. Así $$\frac{(e^x-1)(e^y-1)}{x+y} = \frac{e^{x^2}-e^x-e^{x^2-x}+1}{x^2}.$$ Ahora encontrar el límite de $x\to 0$. Uno puede usar L'Hospital de la Regla, o encontrar los primeros términos de la Maclaurin de expansión. Estos dan, por la parte superior $$1+x^2-1-x-\frac{x^2}{2}-1-(x^2-x)-\frac{(x^2-x)^2}{2}+1.$$ Simplificar. Así que el límite a lo largo de esta ruta es $-1$.
Comentario: Lo que hice para averiguar lo que está pasando es volver a escribir la parte superior como $e^{x+y}-1-e^x-e^y+2$. La relación de $\frac{e^{x+y}-1}{x+y}$ es muy bien portado. Así que a todos nos preocupa es la relación $\frac{2-e^x-e^y}{x+y}$. La parte superior ahora tiene un muy buen desarrollo en serie de Taylor, de la que resulta natural que la toma de $y = x^2-x$ le dará un valor distinto de cero límite, y teniendo en $y = x^3-x$, el ratio de golpe.
Añadido: Una respuesta por Nikos_ch, ahora (espero que temporalmente) eliminados, hace que el cálculo anterior tipo de tonto. Se observa que para $x,y\ne 0$ podemos reescribir nuestra función como $$\frac{xy}{x+y}\frac{e^x-1}{x}\frac{e^y-1}{y}.$$ Ahora podemos concentrarnos en $\frac{xy}{x+y}$ y ver al instante lo que sucede a lo largo de la ruta de $y=x^2-x$.
zoli
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Intente nos las desigualdades que se mantenga para las pequeñas $|x|$:
$$1+x\le e^x\le 1+x+x^2.$$
Con estos (por pequeño $|x|$)
$$\left|\frac{xy}{x+y}\right|\le \left|\frac{(e^x-1)(e^y-1)}{x+y}\right|\le \left|\frac{(x+x^2)(y+y^2)}{x+y}\right|\le \left|\frac{4|xy|}{x+y}\right|.$$
Ahora, es suficiente para ver que
$$\lim\limits_{x\to 0,\ y\to 0}\left|\frac{xy}{x+y}\right|$$
no existe. Véase, p.ex.: Qué $\lim \frac{xy}{x+y}$ existen en (0,0)?
zhw.
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