Una forma más elegante de hacer: $\int \frac{\sin^2x}{1+\sin^2x} \ dx$

Question

Así que he llegado a través de esta integral:

$$I=\int \frac{\sin^2x}{1+\sin^2 x}\,\mathrm dx$$

Lo que hice fue dividir la integral, entonces se utiliza identidad Pitagórica y dividir la fracción.

$$I= x - \frac{1}{2\sqrt{2}} \int \left(\frac{1}{\sqrt{2} - \cos x} + \frac{1}{\sqrt{2} + \cos x} \right) \,\mathrm dx$$

A continuación, utilizando el Weiserstrass de Sustitución ($t= \tan x/2$), pero yo sólo lo uso alguna vez que si su último recurso y en este caso no puedo encontrar una manera más elegante para resolver esta integral.

Hay una forma más elegante y más rápido camino para hacer esta integral (mantenimiento de la escuela primaria métodos). He tratado de encontrar una forma inteligente de multiplicar por 1, pero no se me ocurre ninguna en este momento

Gracias.

Answer 1

SUGERENCIA:

$$\frac{\sin^2x}{1+\sin^2x}=1-\frac1{1+\sin^2x}=1-\frac{\sec^2x}{\sec^2x+\tan^2x}==1-\frac{\sec^2x}{1+2\tan^2x}$$

Poner $\tan x=u$