Dos de función de variable con cuatro diferentes puntos estacionarios

Question

Deje $f(x,y)$ continua de la segunda derivada parcial. Definir $$D(x,y)=f_{xx}(x,y)f_{yy}(x,y)-f_{xy}(x,y)^2.$$

Si $(x_0,y_0)$ es un punto fijo de una función de $f(x,y$, entonces la segunda derivada parcial de la prueba afirma lo siguiente:

(1) Si $D(x_0,y_0)>0$$f_{xx}(x_0,y_0)>0$, $(x_0,y_0)$ es un punto mínimo.

(2) Si $D(x_0,y_0)>0$$f_{xx}(x_0,y_0)<0$, $(x_0,y_0)$ es un punto máximo.

(3) Si $D(x_0,y_0)<0$, $(x_0,y_0)$ es un punto de silla.

(4) Si $D(x_0,y_0)=0$, luego esta prueba no es concluyente, y $(x_0,y_0)$ podría ser cualquiera de un máximo, mínimo o punto de silla.

Mi pregunta es: Se podría dar una función de $f(x,y)$ con exactamente cuatro diferentes puntos estacionarios que satisfacer $(1),(2),(3)$, $(4)$?

Yo trate de alguna función, pero no he encontrado dicha función. Por ejemplo, $$f(x,y)=x^3-\frac{1}{2}x^2+y^3-\frac{1}{2}y^2$$ has four different stationary points but it doesn't satisfy $(4)$. Meanwhile, $$g(x,y)=x^3-x^2+\frac{1}{4}y^4-\frac{1}{3}y^3$$ has four different stationary points but it doesn't satisfy $(3)$.

Answer 1

No es el ejemplo más sencillo en apariencia, pero bastante simple en el análisis: $$f(x,y) =xy^2+ \int (x+1) x^3 (x-1)(x-2)\,dx $$ En efecto, la derivada parcial $f_y$ desaparece sólo cuando $y=0$, lo que significa que todos los puntos críticos son en la $x$-eje. Su $x$-coordenadas se $x=-1,0,1,2$.

Desde $f_{xy} = 2y=0$ $x$- eje y $f_{yy} (x,y)= 2x$ en todas partes, tenemos $$D(x,y) = 2x \frac{d}{dx}((x+1) x^3 (x-1)(x-2)) \tag{1}$$ La derivada en (1) es fácil de evaluar, en puntos críticos de $x_0=-1,1,2$: solo hay que dividir por $(x-x_0)$. En $x_0=0$ la derivada es $0$ debido a que varias de raíz. Por lo tanto,

• en $(-1,0)$ hay una máxima: $D = 2x\cdot x^3 (x-1)(x-2) >0$ $f_{yy}>0$
• en $(2,0)$ hay un mínimo de: $D = 2x\cdot (x+1)x^3 (x-1) >0$ $f_{yy}<0$
• en $(1,0)$ no es un punto de silla: $D = 2x\cdot (x+1)x^3 (x-2) < 0$
• en$(0,0)$, la prueba no es concluyente: $D=0$.

Explícitamente, $$f(x,y) = xy^2+ \frac17 x^7-\frac13 x^6- \frac15 x^5+\frac12x^4$$