Búsqueda de $3$ números primos $a| (bc+b+c)$ $b|(ac+a+c)$ $c|(ab+a+b)$

Question

Cómo encontrar a $3$ números primos $a,b$ $c$ tal forma que: $$a| (bc+b+c)$$ $$b|(ac+a+c)$$ $$c|(ab+a+b)$$

Answer 1

No hay ningún tipo de números primos:

Sin pérdida de generalidad supongamos $a<b<c$. Claramente 2 no puede ser uno de los números primos, por lo que $a\geq 3$ , $b\geq 5$ y $c\geq 7$.

Ahora $abc+ab+bc+ca+a+b+c$ es divisible por $a$, $b$ y $c$, por lo que también es divisible por $abc$,

pero esto es imposible, ya que $1<\frac{abc+ab+bc+ca+a+b+c}{abc}<\frac{a+1}{a}\frac{b+1}{b}\frac{c+1}{c}\leq\frac{4}{3}\frac{6}{5}\frac{8}{7}<2$