¿Se puede hacer una matriz simétrica real autovectores complejos?

Question

Una matriz hermítica tiene siempre verdadero valores propios y vectores propios ortogonales reales o complejas. ¿Una matriz simétrica real es un caso especial de matrices hermítica, así también tiene vectores propios ortogonales y autovalores reales, pero podría tener vectores propios complejos?

Mi intuición es que los vectores propios son siempre reales, pero absolutamente no puedo lograrlo hacia abajo.

Answer 1

Siempre probar los ejemplos, comenzando con el más sencillo de los ejemplos posibles (esto puede tomar un poco de pensamiento en cuanto a que los ejemplos son las más simples). Hace, por ejemplo, la matriz identidad de complejos vectores propios? Esto es bastante fácil de responder, ¿verdad?

Ahora, para el caso general: si $A$ es cualquier real de la matriz con el real autovalor $\lambda$, entonces tenemos una selección de looking for real vectores propios o complejos, los vectores propios. El teorema de aquí es que el $\mathbb{R}$-dimensión del espacio de la real vectores propios de a $\lambda$ es igual a la $\mathbb{C}$-dimensión del espacio de vectores propios complejos para $\lambda$. De ello se sigue que (yo) hemos de tener siempre la no-real vectores propios (esto es fácil: si $v$ es un verdadero vector propio, a continuación, $iv$ no es real autovector) y (ii) siempre habrá un $\mathbb{C}$-base para el espacio de vectores propios complejos que consisten enteramente real vectores propios.

Como para la prueba: las $\lambda$-espacio propio es el núcleo de la (transformación lineal dada por la matriz $\lambda I_n - A$. Por la clasificación de nulidad teorema de la dimensión de este kernel es igual a $n$ menos el rango de la matriz. Dado que el rango de una verdadera matriz no cambia cuando la consideramos como un complejo de la matriz (por ejemplo, la reducción escalonada es único por lo que debe permanecer la misma sobre el paso de$\mathbb{R}$$\mathbb{C}$), la dimensión del kernel no cambia. Por otra parte, si $v_1,\ldots,v_k$ son un conjunto de bienes vectores que son linealmente independientes sobre $\mathbb{R}$, entonces ellos también son linealmente independientes sobre $\mathbb{C}$ (para ver esto, basta con escribir una dependencia lineal de la relación de más de $\mathbb{C}$ y descomponer en partes real e imaginaria), por lo que cualquier $\mathbb{R}$-base para el subespacio propio de más de $\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$- base para el subespacio propio sobre $\mathbb{C}$.

Answer 2

Si $A$ es simétrica $n\times n$ matriz con entradas real, entonces visto como un elemento de $M_n(\mathbb{C})$, sus vectores propios de incluir siempre con los vectores no-real de las entradas: si $v$ es cualquier vector propio, entonces al menos uno de $v$ $iv$ tiene un no de entrada real.

Por otro lado, si $v$ es cualquier vector propio, entonces al menos uno de $\Re v$ $\Im v$ (tome la real o imaginaria entrywise) no es cero y será un autovector de a $A$ con el mismo autovalor. Lo que siempre se puede pasar a los vectores propios con el real entradas.

Answer 3

Si $x$ es un autovector correspondiente a $\lambda$, entonces para $\alpha\neq0$, $\alpha x$ es también un vector propio correspondiente a $\lambda$. Si $\alpha$ es un número complejo, entonces es evidente que tiene un complejo autovector. Pero si $A$ es un real, simétrica matriz ( $A=A^{t}$), a continuación, sus autovalores son reales y siempre puedes coger los correspondientes vectores propios con el real entradas. De hecho, si $v=a+bi$ es un autovector con autovalor $\lambda$,$Av=\lambda v$$v\neq 0$. Por lo $A(a+ib)=\lambda(a+ib)\Rightarrow Aa=\lambda a$$Ab=\lambda b$. Por lo tanto, debido a $v\neq 0$ implica que cualquiera de las $a\neq 0$ o $b\neq 0$, usted solo tiene que elegir.

Answer 4

Yo también tuve esa duda de una vez.

Los vectores propios son generalmente supone (implícitamente) para ser real, pero también podrían ser elegido como complejo, no importa.

Específicamente: para una matriz simétrica $A$ y un autovalor $\lambda$, sabemos que $\lambda$ debe ser real, y esto fácilmente implica que podemos siempre encontrará un real $\mathbf{p}$ tal que

$$\mathbf{A} \mathbf{p} = \lambda \mathbf{p}$$

Pero recordemos que nosotros los vectores propios de una matriz no están determinadas, tenemos bastante libertad para elegir: en particular, si $\mathbf{p}$ es autovector de a $\mathbf{A}$, entonces también es $\mathbf{q} = \alpha \, \mathbf{p}$ donde $\alpha \ne 0$ es cualquier escalar: real o complejo.