Producto tensorial de dos módulos generados finitamente

Question

¿Cómo puedo demostrar que si $M$ y $N$ son generados finitamente $A$ -entonces también lo es $M\otimes_AN$ ? Entiendo que tengo la suposición de que hay enteros $n,m$ tal que existen suryectos $A^n\to M$ y $A^m\to N$ pero ¿cómo implica esto que hay un número entero $l$ tal que existe una suryección $A^l\to M\otimes_AN$ ?

Answer 1

Dejemos que $f:A^m\to M$ y $g:A^n\to N$ sea suryente. Entonces $f\otimes g:A^{mn}\cong A^m\otimes A^n\to M\otimes_A N$ es suryente. Más concretamente, si $x_1,\ldots,x_m$ generar $M$ y $y_1,\ldots,y_n$ generar $N$ , entonces el conjunto de todos los $x_i\otimes y_j$ genera el producto tensorial. Esto se puede ver por las relaciones de bilinealidad utilizadas en la construcción del producto tensorial.

Answer 2

Supongamos que $$M = Aa_1+ \ldots + A a_k$$ $$N=Ab_1+ \ldots + A b_h$$ entonces si $v \otimes_A w \in M \otimes_A N$ tenemos $$v = r_1a_1 + \ldots + r_ka_k \ \ r_i \in A \ \ \forall\ i$$ $$w = s_1b_1 + \ldots + s_hb_h \ \ s_i \in A \ \ \forall\ i$$ Así, $$v \otimes_A w = \sum_{i,j} r_is_j (a_i \otimes_A b_j)$$ Esto significa que todos los tensores descomponibles son generados por $\lbrace a_i \otimes_A b_j \rbrace_{i,j}$ y por lo tanto todos los tensores son generados por $\lbrace a_i \otimes_A b_j \rbrace_{i,j}$