mostrar que el espacio del producto $\mathbb{R}^I$ donde $I$ denotar $[0,1]$, tiene una contables subconjunto denso.
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El denso conjunto que puede ser escrito de forma explícita: vamos a $\mathcal{B}$ ser una contables de base para $[0,1]$ (tenga en cuenta que estamos explotando el hecho de que podemos ver el (innumerables) conjunto de índices como (Hausdorff) topológica del espacio con una contables base!), por ejemplo, todos los intervalos abiertos con racional de los extremos. A continuación, definir
$$D = \{f: [0,1] \to \mathbb{R}: \exists n \in \mathbb{N}: \exists B_1,\ldots,B_n \in \mathcal{B}: B_i \mbox{ pairwise disjoint } \land \exists q_1,\ldots, q_n \in \mathbb{Q}: \forall i \in \{1,\ldots,n\}\, f|_{B_i} \equiv q_i \land \forall x \in [0,1] \setminus \cup_{i=1}^n B_i: f(x) = 0 \} \mbox{,}$$
lo que en palabras es solo todas las funciones de $[0,1]$ $\mathbb{R}$que son constantes a lo racional con valores en un número finito de pares distintos de la base de miembros, y $0$ en otros lugares.
La primera nota que este juego es, de hecho, contables: sólo hay countably muchos finito familias de pares distintos miembros de $\mathcal{B}$, y para cada uno de nosotros debe elegir algunos $n$-tupla de racional de los valores (de los cuales también hay sólo countably muchos). Este es un conjunto estándar-de la teoría a contar el argumento.
Este conjunto también es denso: para esto basta para demostrar que cualquier (no vacío) básico conjunto abierto $O$ $\mathbb{R}^{[0,1]}$ intersecta $D$. Así que toma un básico de conjunto abierto, que es un conjunto que depende de un número finito de coordenadas: hay un número finito de puntos de $x_1,\ldots,x_n$ y un número finito no vacío abierto conjuntos de $U_1,\ldots,U_n \subset \mathbb{R}$ tal que
$$ O = \{ f: [0,1] \to \mathbb{R}: \forall i \in \{1,\ldots,n\}: f(x_i) \in U_i \}\mbox{.}$$
Ahora nos encontramos con pares discontinuo $B_i \in \mathcal{B}$ tal que $X_i \in B_i$ todos los $i$, por Hausdorffness y el hecho de que $\mathcal{B}$ es una base. También podemos encontrar los números racionales $q_i \in U_i$, como los racionales son densos en $\mathbb{R}$. A continuación, la función obvia $f$$[0,1]$, que envía a todos los de $B_i$$q_i$, y el resto a $0$ es por la construcción en $D$ y también en $O$. Así que esto concluye la prueba.
Con esta idea es muy fácil demostrar que el producto de $\mathfrak{c} = 2^{\mathbb{N}}$ muchos espacios separables tiene un separables del producto: se utilizan esencialmente la misma prueba a ver que $\mathbb{N}^{[0,1]}$ es separable. Entonces si $X_i$ ($i \in [0,1]$, el uso de $[0,1]$ como un conjunto de indexación por conveniencia) es separable, escoja una contables subconjunto denso $D_i$ y tenga en cuenta que $D = \prod_{i \in [0,1]} D_i$ es denso en $\prod_{i \in [0,1]} X_i$ y la imagen continua de $\mathbb{N}^{[0,1]}$ (use cualquier bijection $f_i$ $\mathbb{N}$ $D_i$(siempre continua!) y llevar su producto), y así separables como la imagen continua de un separables en el espacio. Pero un subespacio denso en un subespacio denso es denso en el espacio de grandes dimensiones, por lo $\prod_{i \in [0,1]} X_i$ es también separable.
Generalizando aún más: si tenemos en la mayoría de las $2^\kappa$ muchos espacios, todos los cuales tienen un subconjunto denso de tamaño en la mayoría de las $\kappa$, entonces su producto también tiene un subconjunto denso con el tamaño en la mayoría de las $\kappa$, para un infinito cardenal $\kappa$. De nuevo, la prueba explota el hecho de que podemos ver el conjunto de índices (podemos tomar $\{0,1\}^\kappa$ por conveniencia) como un espacio de Hausdorff de peso $\kappa$ nos deja elegir un subconjunto denso de funciones como lo hicimos anteriormente. Este hecho es conocido como la Hewitt-Marczewksi-Pondiczery teorema.
Shery
Puntos
16
Sugerencia: es un hecho general que para cualquier separable espacio de $X$, el producto $X^{[0,1]}$ es separable. Tratar de mostrar esta primera para $2^{[0,1]}$.
Creo que se podría decir más general, que si $X$ tiene una densa subconjunto de cardinalidad en la mayoría de las $\kappa$ $Y$ (equinumerous con) un espacio de Hausdorff con una base de cardinalidad en la mayoría de las $\kappa$, $X^Y$ con el producto de la topología tiene una densa subconjunto de cardinalidad en la mayoría de las $\kappa$.
