Explícito generadores de syzygies

Question

Considere la posibilidad de una $1\times n$ matriz $$ \mathbf{A}=\begin{pmatrix} f_1 &f_2 & \dots & f_n \end{pmatrix} $$ más de $R=\mathbb{C}[X_1,\dots,X_r]$. Deje $M=\oplus_{i=1}^n R\mathbf{e}_i$ ser el rango -$n$ $R$- módulo. Tenemos el siguiente complejo de Koszul: $$ \wedge^2 M \xrightarrow{h} M\xrightarrow{g} R $$ donde $g$ envía $\mathbf{e}_i$ $\mathbf{A}_{1i}=f_i$ $h$envía $\mathbf{e}_i\wedge \mathbf{e}_j$$f_j\mathbf{e}_i-f_i\mathbf{e}_j$. En algunos casos ($f_i$'s forma una secuencia regular?) el complejo es exacta, y por lo tanto, $f_j\mathbf{e}_i-f_i\mathbf{e}_j$'s forma un conjunto de generadores para $\ker(g)\subseteq M$. También he aprendido de la teoría básica de grobner base de que cuando se $f_i$'s son todos monomials, uno puede modificar $h$, por lo que envía a $\mathbf{e}_i\wedge\mathbf{e}_j$ $\frac{\mathrm{lcm}(f_i,f_j)}{f_i}\mathbf{e}_i-\frac{\mathrm{lcm}(f_i,f_j)}{f_j}\mathbf{e}_j$y, a continuación, la secuencia es exacta.

Pregunta: ¿tenemos resultados similares en el caso de que $A$ $m\times n$ de la matriz?

Específicamente, para $m\leq n$, considere la posibilidad de una $m\times n$ matriz $$ \mathbf{A}=\begin{pmatrix} f_{11} &\dots & f_{1n} \\ \dots & \dots & \dots \\ f_{m1} &\dots & f_{mn} \end{pmatrix} $$ más de $R=\mathbb{C}[X_1,\dots,X_r]$. Considerar el mapa de $g$ definido por $\mathbf{A}$: $$ g:\oplus_{i=1}^n R\mathbf{e}_i\a\oplus_{i=1}^m R\mathbf{e}'_i $$ que envía a$\mathbf{e}_i$$\sum_{j=1}^m f_{ji}\mathbf{e}'_j$. Podemos especificar explícitamente los elementos de $\ker(g)$? Cuando se generan $\ker(g)$? En el caso de que todos los $f_{ij}$'s son monomials, tenemos un resultado similar como el mencionado anteriormente?

Muchas gracias!

Answer 1

El contexto adecuado de esta pregunta es cómo generalizar el complejo de Koszul (o al menos su segunda diferencial) para una matriz con 1 fila a una matriz con un número arbitrario de las filas. La generalización es proporcionada por el Buchsbaum Rim complejo.

Voy a dar el kernel para el caso genérico (cuando todas las entradas son variables independientes; de forma más general, cuando el ideal generado por la máxima de los menores de la matriz tiene la profundidad esperada, que es $n-m+1$ si $n \ge m$). En todos los casos, estas se dan las relaciones, aunque no podría ser más si la profundidad de la asunción no está satisfecho. Un tratamiento de este punto en más detalle se puede encontrar en el Apéndice A2.6 de Eisenbud del Álgebra Conmutativa, o en el papel "generalizada del complejo de Koszul. I" por Buchsbaum.

Primero, considere el caso de $n=m+1$. Deje $g_i$ $(-1)^{i+1}$ multiplicado por el determinante de la matriz obtenida al eliminar la columna de $i$. Entonces me reclamación $(g_1, \dots, g_n)$ es un núcleo de un elemento. (De hecho, es todo lo que en el caso genérico.) Para ver esto, tomar la $j$ésima fila de la matriz y agregar a la cima. Claramente esto tiene determinante 0, y haciendo de Laplace de expansión a lo largo de esta fila muestra que el $j$th entrada de $g \cdot (g_1, \dots, g_n)^T$ es 0.

Para el caso general, podemos hacer la misma cosa, pero tenemos una relación para cada elección de $m+1$ columnas. Esto le da a todas las relaciones en el caso genérico, aunque se necesita más trabajo para mostrar que. Por lo que el módulo de relaciones es naturalmente isomorfo a una potencia exterior $\wedge^{m+1} R^n$.