Límite, uniones e intersecciones

Question

Deje $(X,\tau)$ ser un espacio topológico. Si $A,B\subseteq X$, $\partial(A\cap B)\subseteq(\partial A\cap B)\cup(A\cap\partial B)\cup(\partial A\cap\partial B)$ donde $\partial$ indica el límite de operación. Es posible generalizar este resultado? I. e., si $\{A_i\}_{i\in I}$ es una familia de subconjuntos de a $X$, luego $$\partial(\bigcap_{i\in I}A_i)\subseteq\bigcup_{J\subseteq I, J\neq\emptyset}\cap_{j\in J}\partial A_j\bigcap\cap_{i\in I\setminus J}A_i?$$

Answer 1

Parece que el siguiente.

Nos muestran que el lado derecho de la inclusión es igual a $$\bigcap\overline{A_i}\setminus\bigcap\operatorname{int} A_i.$$

De hecho, vamos a $x\in \bigcap\overline{A_i}\setminus\bigcap\operatorname{int} A_i$. Entonces el conjunto $J=\{i\in I:x\not\in\operatorname{int} A_i \}$ no está vacía. Entonces $$x\in \bigcap_{j\J}\partial A_j\cap\bigcap_{i\in I\setminus J}\operatorname{int} A_i\subconjunto \bigcap_{j\J}\partial A_j\cap\bigcap_{i\in I\setminus J} A_i.$$ Conversely, let $x$ pertenece a la parte derecha de la inclusión. Claramente, ese $x\in \bigcap\overline{A_i}$. Pero existe un índice $i$ tal que $x\in\partial A_i$. A continuación, $x\not\in\operatorname{int} A_i$ y, por tanto, $x\not\in\bigcap\operatorname{int} A_i.$

Ahora la inclusión de la siguiente manera $$\partial(\bigcap A_i)=\overline{\bigcap A_i}\setminus\operatorname{int}\left(\bigcap A_i\right)\subset \bigcap\overline{A_i}\setminus\bigcap\operatorname{int} A_i.$$