Mostrar cada autovalor de un compañero de la matriz geométrica de la multiplicidad $=1$.

Question

Dada la ecuación diferencial $$x^{(n)}(t)+c_{n-1}x^{(n-1)}(t) + \dotsb + c_1x'(t) + c_0=0,$$ we can form a vector $\xi = (x, x', \dotsc, x^{(n-1)})$, and then we have $$\xi'(t) = A\xi,$$ donde $A$ es la transpuesta de la compañera de la matriz para el polinomio $$z^n + c_{n-1}z^{n-1}+\dotsb + c_1z + c_0.$$ A problem in Teschl's ODE book is to show that each eigenvalue of $Un$ has geometric multiplicity $1.$ The hint it gives is "can you find a cyclic vector for $$? ¿Cómo ayudar?"

(Por un vector cíclico que él quiere decir $v$ tal que $\{A^{k}v\}\,\, (0\leq k <n)$ abarca el espacio vectorial.)

Veo que $e_n$ es cíclica vector de la $A$, pero no voy a ver la forma en que ayuda. Alguna idea?

Answer 1

No estoy seguro de que esta es la respuesta Teschl tiene en mente, pero está claro que $A - \lambda I$ tiene al menos $n-1$ linealmente independientes columnas para los $\lambda \in \mathbb{C},$$|\mathcal{N}(A - \lambda I)|\leq 1$.

Answer 2

La reclamación. Si $A$ tiene un vector cíclico $v$, $\dim \ker (A-\lambda I)\le 1$ por cada $\lambda$.

Prueba. Deje $m$ ser el entero más pequeño tal que el intervalo de $v,Av,\dots, A^m v$ intersecta $\ker (A-\lambda I)$. Entonces tenemos un vector $\sum_{k=0}^{m} c_k A^k v$ tal que $c_m\ne 0$ y $$A\sum_{k=0}^{m} c_k A^k v = \lambda \sum_{k=0}^{m} c_k A^k v $$ De ello se desprende que $A^{m+1}v$ es una combinación lineal de $v,\dots, A^m v$. Desde $v$ es cíclica, $m$ debe $n-1$. Por lo tanto, el intervalo de $v,\dots, A^{n-2}v$ es disjunta de a $\ker (A-\lambda I)$, que por la dimensión de recuento que hace el último en más de una dimensión. $\quad \Box$