¿Hay realmente ninguna manera de integrar $e^{-x^2}$?

Question

Hoy en mi clase de cálculo, nos encontramos con la función de $e^{-x^2}$, y me dijeron que no era integrable.

Yo estaba muy sorprendido. Hay realmente ninguna manera de encontrar la integral de $e^{-x^2}$? Graficación $e^{-x^2}$, parece que debe ser.

Una página de la Wikipedia en Gaussiano Funciones de los estados que

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$$

Esto es de -infinito a infinito. Si la función puede ser integrado dentro de estos límites, no estoy seguro de por qué no puede ser integrado con respecto a $(a, b)$.

Hay realmente no hay manera de encontrar la integral de $e^{-x^2}$ o, o los métodos de búsqueda que se encuentra en las ramas más altas que en el segundo semestre de cálculo?

Answer 1

Para construir sobre kee wen la respuesta y proporcionar más legibilidad, aquí es una analítica método de obtención de la integral definida de la función de Gauss sobre toda la recta real:

Deje $I=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx$.

A continuación, $$\begin{align} I^2 &= \left(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx\right) \times \left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}dy\right) \\ &=\int_{-\infty}^\infty\left(\int_{-\infty}^\infty e^{-(x^2+y^2)} dx\right)dy \\ \end{align}$$

Lo siguiente que queremos cambiar a forma polar: $x^2+y^2=r^2$, $dx\,dy=dA=r\,d\theta\,dr$, por lo tanto

$$\begin{align} I^2 &= \iint e^{-(r^2)}r\,d\theta\,dr \\ &=\int_0^{2\pi}\left(\int_0^\infty re^{-r^2}dr\right)d\theta \\ &=2\pi\int_0^\infty re^{-r^2}dr \end{align}$$

A continuación, vamos a cambiar las variables para que $u=r^2$, $du=2r\,dr$. Por lo tanto, $$\begin{align} 2I^2 &=2\pi\int_{r=0}^\infty 2re^{-r^2}dr \\ &= 2\pi \int_{u=0}^\infty e^{-u} du \\ &= 2\pi \left(-e^{-\infty}+e^0\right) \\ &= 2\pi \left(-0+1\right) \\ &= 2\pi \end{align}$$

Por lo tanto, $I=\sqrt{\pi}$.

Tened en cuenta que esto es más simple que la obtención de una integral definida de la Gaussiana sobre algún intervalo (a,b), y todavía no podemos obtener una antiderivada de la Gaussiana que se puede expresar en términos de funciones elementales.

Answer 2

Que la función es integrable. De hecho, cualquier función continua (en un intervalo compacto) es Riemann integrable (incluso realmente no tiene que ser continuo, pero la continuidad es suficiente para garantizar la integrabilidad en un intervalo compacto). La primitiva de $e^{-x^2}$ (hasta un factor constante) se llama la función de error y no se puede escribir en términos de funciones simples sabe del cálculo, pero eso es todo.

Answer 3

Int e^(-x^2) dx de a a b = Int e^(-y^2) dy de la a a la b Sea I=Int e^(-x^2) dx de -infinito a infinito I^2= Int e^(-x^2) dx de -infinito a infinito x Int e^(-y^2) dy de -infinito a infinito =Dobule Int e^-(x^2+y^2) dxdyfrom -infinito a infinito el cambio a polares forma: x^2+y^2=r^2 usted obtener I^2= Int Int e^-(r^2)dA (como dydx = dA, a=área)

Así, mientras que se observa desde el Polar gráfico, dA = rdθdr como dθ tiende a cero (definición de la integración) Por lo tanto, I^2=Int(2pi,0)Int(infinito,0) re^(r^2)dθdr

Por medio de la manipulación: -2I^2=Int(2pi,0)Int(infinito,0) (-2r)e^(-r^2)dθdr donde -2r es la derivada de r^2

I^2=[Int(2pi,0)dθ x Int(infinito,0) (-2r)e^(-r^2)dr]/-2 =(-pi)x[e^(-r^2),el infinito,0] hacer las matemáticas. I=Raíz de pi

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